Треугольники: всё, что нужно на ОГЭ и ЕГЭ

Виды треугольников

Треугольник — фигура из трёх точек-вершин и трёх соединяющих их отрезков. По углам выделяют три вида: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол 90°) и тупоугольный (один угол больше 90°). Двух тупых углов не бывает — сумма углов их не позволит.

По сторонам треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные (две стороны равны) и равносторонние. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, проведённая к основанию, — она же биссектриса и высота. В равностороннем все углы по 60°, а высота считается одной формулой.

\( h = a \cdot \sqrt{3} / 2 \)

Сумма углов и неравенство треугольника

Главный факт всей планиметрии: сумма углов треугольника равна 180°. Из него следуют два рабочих правила. Внешний угол (смежный с внутренним) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90°.

\( ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \)

Второй важный факт — неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Стороны 3, 4 и 8 не существуют, потому что 3 + 4 = 7, а 7 меньше 8. Задачи «существует ли треугольник» решаются только этой проверкой, без всяких чертежей.

Медиана, биссектриса и высота

Три «замечательные линии» нужно различать с закрытыми глазами.

• Медиана — отрезок от вершины к середине противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
• Биссектриса — отрезок, делящий угол пополам. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
• Высота — перпендикуляр к противоположной стороне или её продолжению. В тупоугольном треугольнике высоты выходят за пределы фигуры — это нормально.

Отдельно запомни среднюю линию — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

\( m = ½ \cdot c \)

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если совпадают все их стороны и углы. Проверять всё — не нужно, достаточно одного из трёх признаков.

1. По двум сторонам и углу между ними.
2. По стороне и двум прилежащим углам.
3. По трём сторонам.

На этих признаках держатся все доказательства в задачах ОГЭ. Типичная картина: внутри большой фигуры спрятаны два маленьких треугольника — ищи общую сторону, вертикальные углы или биссектрису, которая делит угол на равные части. Рядом живёт и подобие: треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами. Подобие даёт не равенство, а отношение сторон — и это ключ к задачам со средней линией и параллельными сторонами.

Прямоугольный треугольник и Пифагор

Стороны прямоугольного треугольника имеют имена: два катета и гипотенуза — сторона напротив прямого угла, самая длинная. Между ними работает теорема Пифагора.

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

Пифагоровы тройки стоит узнавать сразу: 3–4–5, 6–8–10, 5–12–13. Если видишь катеты 6 и 8, гипотенуза равна 10 — без вычислений в столбик.

Здесь же начинается тригонометрия. Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к гипотенузе, тангенс — их отношение.

\( \sin \alpha = \dfrac{a}{c}, \cos \alpha = \dfrac{b}{c}, \tg \alpha = \dfrac{a}{b} \)

Ещё одна любимая фишка составителей: медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Увидел прямоугольный треугольник с медианой к гипотенузе — получились два равнобедренных треугольника.

Типовые задачи на ОГЭ и ЕГЭ

Экзаменационные задачи собираются из этой базы, как конструктор. Разберём три типовых сюжета.

1. Углы: в равнобедренном треугольнике угол при вершине 40°. Углы при основании равны, и на них остаётся 180° − 40° = 140°, значит, каждый равен 70°.
2. Пифагор: гипотенуза 13, один катет 5. Второй катет равен √(169 − 25) = √144 = 12.
3. Средняя линия: сторона треугольника равна 8, значит, параллельная ей средняя линия равна 4.

Алгоритм всегда один: прочитай, что дано, определи вид треугольника, выбери инструмент — сумма углов, неравенство сторон, Пифагор или свойства линий. Дальше развивай тему: как найти площади фигур через треугольник, как устроены вписанные и описанные окружности и что из треугольников вырастает в стереометрии. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.