Площади на клетчатой бумаге и формула Пика на ОГЭ

Как быстро находить площадь на клетчатой бумаге

На ОГЭ можно потерять время не из-за сложной геометрии, а из-за подсчёта клеток и невнимательности. Разберём понятный алгоритм, чтобы уверенно находить площадь фигуры и проверять ответ несколькими способами.

Клетчатая бумага превращает геометрию в задачу на измерения. Сначала определи длину стороны одной клетки. Если сторона клетки равна 1, то её площадь тоже равна 1. Если сторона равна 2 см, площадь клетки будет 2² = 4 см².

Дальше выясни, какие фигуры спрятаны внутри рисунка: прямоугольники, квадраты, треугольники, параллелограммы или трапеции. Иногда удобнее разделить сложную фигуру на несколько простых. В других случаях быстрее достроить её до большого прямоугольника и вычесть лишние части.

Записывай единицы измерения. В ответе площадь выражается в квадратных единицах: см², м² или просто клетках, если размер клетки не указан.

Какие формулы нужны для задания ОГЭ

В заданиях ОГЭ 15–19 могут встретиться разные фигуры на клетчатой бумаге. Не пытайся запомнить только один способ. Выбирай формулу по виду фигуры и известным размерам.

Фигура	Формула площади	Что важно увидеть
Прямоугольник	S = a × b	Длину и ширину
Квадрат	S = a²	Сторону
Треугольник	S = ½ × a × h	Основание и высоту
Параллелограмм	S = a × h	Высоту к выбранному основанию
Трапеция	S = ½ × (a + b) × h	Два основания и высоту

Высота всегда перпендикулярна основанию. Наклонная сторона не становится высотой только потому, что она нарисована рядом с основанием. На клетчатой бумаге высоту часто можно просто посчитать по вертикали или горизонтали.

Если фигура состоит из двух треугольников, их площади складываются. Если внутри вырезан треугольник, его площадь вычитается. Такой контроль помогает заметить ошибку в знаке или числе.

Для дополнительной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете «Просто Урок»: перейти к заданиям.

Формула Пика: площадь по точкам решётки

Формула Пика удобна, когда вершины многоугольника лежат в узлах клетчатой решётки. Она связывает площадь с количеством точек внутри фигуры и на её границе:

S = В + Г ÷ 2 − 1
В — число узлов внутри фигуры
Г — число узлов на границе фигуры

Здесь S измеряется в квадратных клетках, если сторона клетки принята за 1. Формула работает для простого многоугольника без самопересечений. Внутренние точки не входят в границу, а угловые точки обязательно считаются как граничные.

Чтобы применить формулу, сначала поставь отметки на всех узлах внутри фигуры. Затем посчитай узлы по контуру. Если сторона проходит через несколько клеток, считай и промежуточные узлы, а не только вершины.

Например, если внутри 8 узлов, а на границе 10, то S = 8 + 10 ÷ 2 − 1 = 12 квадратных клеток. При записи лучше использовать скобки: S = 8 + 10 ÷ 2 − 1, чтобы не перепутать порядок действий.

Формула Пика особенно полезна для неправильных многоугольников. Но если фигура легко разбивается на прямоугольник и треугольники, обычный способ может оказаться быстрее.

Разобранный пример с формулой Пика

Рассмотрим многоугольник на клетчатой бумаге. Предположим, что после аккуратного подсчёта внутри него оказалось 11 узлов, а на границе — 8 узлов. Найдём площадь в квадратных клетках.

Дано: В = 11, Г = 8
Формула Пика: S = В + Г ÷ 2 − 1
Подставим значения: S = 11 + 8 ÷ 2 − 1
Выполним деление: S = 11 + 4 − 1
Ответ: S = 14 квадратных клеток

Проверка здравого смысла тоже важна. Если мысленно достроить фигуру до прямоугольника площадью около 20 клеток и вычесть несколько треугольников, результат 14 выглядит правдоподобно. Если бы получилась площадь 40 клеток, нужно было бы перепроверить счёт.

Если в условии дана сторона клетки, переведи результат. При стороне 3 см одна квадратная клетка имеет площадь 3² = 9 см². Тогда площадь фигуры равна 14 × 9 = 126 см².

Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — смешать длину и площадь клетки. Число клеток показывает площадь только тогда, когда сторона клетки равна 1 единице. При стороне ½ см площадь клетки равна ¼ см², а не ½ см².

Вторая ошибка — принять наклонную сторону за высоту. Для треугольника высота должна образовывать прямой угол с основанием. На рисунке она может лежать внутри фигуры, а иногда выходит за её пределы.

Третья ошибка — забыть про половину клетки. Если фигура пересекает клетку по диагонали, получившиеся части могут быть треугольниками с площадью ½ клетки. Несколько таких частей часто удобно объединить в целую клетку.

Четвёртая ошибка — неверно посчитать граничные узлы в формуле Пика. Точка на стороне, в углу или на пересечении контура с линией решётки относится к Г. Точка рядом с контуром, но внутри фигуры, относится к В.

Полезная проверка: реши задачу вторым методом. Например, сначала используй формулу Пика, а затем дострой фигуру до прямоугольника. Совпадение результатов почти всегда означает, что подсчёт выполнен правильно.

В личном кабинете «Просто Урок» можно спокойно потренироваться на похожих рисунках и сразу закрепить порядок действий: открыть бесплатную практику.

Что запомнить перед ОГЭ

Площадь на клетчатой бумаге можно находить разбиением на простые фигуры, достраиванием до прямоугольника или по формуле Пика. Сначала проверь масштаб клетки, затем внимательно определи размеры и только после этого подставляй значения в формулу.

Для формулы Пика запомни короткую схему: внутренние узлы плюс половина граничных узлов минус 1. Записывай обозначения В и Г отдельно, чтобы не перепутать их. В конце оцени, похож ли ответ на площадь изображённой фигуры.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы закрепить подсчёт клеток, разбиение фигур и формулу Пика.