Памятка: векторы

Что такое вектор

Векторы часто кажутся сложными из-за стрелок, координат и непривычных обозначений. Но если разделить тему на несколько действий, ты быстро научишься читать условие, строить вектор и находить его длину. В этой памятке разберём, что такое вектор, как выполнять действия с ним и где чаще всего ошибаются. После разбора можно проверить себя в бесплатной практике в личном кабинете.

Вектор — это направленный отрезок. У него есть начало, конец, направление и длина. На рисунке вектор обозначают стрелкой: от точки A к точке B записывают AB⃗. Точка A называется началом, а B — концом вектора. Важно не путать вектор с обычным отрезком: отрезок имеет длину, а вектор дополнительно показывает, куда направлено движение.

Два вектора равны, если у них одинаковые длина и направление. Их начало при этом может находиться в разных местах. Нулевой вектор имеет длину 0, его начало и конец совпадают. Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называют сонаправленными или противоположно направленными в зависимости от направления стрелок.

Координаты и длина

На координатной плоскости вектор удобно задавать двумя числами. Если начало A имеет координаты (x₁; y₁), а конец B — (x₂; y₂), то координаты вектора AB⃗ находят вычитанием координат начала из координат конца. Сначала вычисляют горизонтальное изменение, затем вертикальное. Такой порядок одинаков для любых точек.

\( AB⃗ = (x_2 - x_1; y_2 - y_1) \)
Если A(2; −1), B(7; 3), то AB⃗ = (7 − 2; 3 − (−1)) = (5; 4)

Длина вектора с координатами (a; b) вычисляется по теореме Пифагора. Координаты можно представить как катеты прямоугольного треугольника: один отвечает за движение вправо или влево, другой — вверх или вниз.

\( |a⃗| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( |AB⃗| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{4}1 \)

Если один из компонентов равен нулю, вектор направлен параллельно одной из осей. Например, (0; 6) направлен вертикально, а (−4; 0) — горизонтально влево. Знак координаты показывает направление, но не меняет сам принцип вычисления длины: после возведения в квадрат знак исчезает.

Сложение и вычитание

Чтобы сложить векторы, сложи их соответствующие координаты. Первые координаты складываются с первыми, вторые — со вторыми. Геометрически действует правило треугольника: начало второго вектора переносят в конец первого, а результирующий вектор соединяет начало первого с концом второго. Можно также использовать правило параллелограмма.

\( a⃗ = (a_1; a_2), b⃗ = (b_1; b_2) \)
\( a⃗ + b⃗ = (a_1 + b_1; a_2 + b_2) \)
\( (3; -2) + (-1; 5) = (2; 3) \)

Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором. Чтобы получить −b⃗, нужно поменять знак каждой его координаты. Не меняй только одну координату: противоположный вектор направлен строго в обратную сторону.

\( a⃗ - b⃗ = a⃗ + (-b⃗) \)
\( (4; 1) - (2; -3) = (4; 1) + (-2; 3) = (2; 4) \)

Сложение векторов перестановочно: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗. Но при записи решения сохраняй скобки и порядок действий, особенно если в выражении есть несколько операций.

Умножение и скалярное произведение

При умножении вектора на число k каждая его координата умножается на k. Если k > 1, длина увеличивается в k раз; если 0 < k < 1, уменьшается. При отрицательном k направление меняется на противоположное. При k = 0 получается нулевой вектор.

\( k(a_1; a_2) = (ka_1; ka_2) \)
\( -2(3; -4) = (-6; 8) \)

Скалярное произведение двух векторов — это число, а не вектор. Его находят как сумму произведений соответствующих координат. Оно помогает определить угол между векторами и проверить перпендикулярность.

\( a⃗ \cdot b⃗ = a_1b_1 + a_2b_2 \)
\( (2; 3) \cdot (3; -2) = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 0 \)

Если скалярное произведение равно нулю, ненулевые векторы перпендикулярны. Для коллинеарных векторов координаты пропорциональны: например, (2; 6) и (1; 3). Сравнивать нужно обе координаты, а не только одну.

Основные формулы удобно держать перед глазами:

Задача	Формула
Координаты AB⃗	(x₂ − x₁; y₂ − y₁)
Длина	√(a² + b²)
Скалярное произведение	a₁b₁ + a₂b₂

Разобранный пример и ошибки

Пусть даны точки A(−2; 1) и B(4; −3). Найдём координаты и длину вектора AB⃗, а затем проверим его перпендикулярность вектору c⃗ = (3; 2).

1. Координаты AB⃗: (4 − (−2); −3 − 1) = (6; −4)
2. Длина: |AB⃗| = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13
3. Скалярное произведение: (6; −4) · (3; 2) = 6 × 3 + (−4) × 2 = 18 − 8 = 10
4. Так как 10 ≠ 0, векторы не перпендикулярны.

Типичная ошибка номер один — вычитать координаты в неправильном порядке. Для AB⃗ всегда бери B − A, а для BA⃗ — A − B. Ошибка номер два — забывать скобки перед отрицательным числом: −3 − (−1) превращается в −2, а не в −4. Ошибка номер три — писать длину со знаком минус: длина не бывает отрицательной.

Если решение получается громоздким, сначала выпиши формулу буквами, затем подставляй числа. После вычислений сделай быструю проверку: длина должна быть не меньше модуля каждой координаты.

Закрепить этот алгоритм можно через короткую бесплатную тренировку, где удобно возвращаться к заданиям и разбирать ошибки.

Что запомнить

Вектор — направленный отрезок с длиной и направлением. Координаты AB⃗ находят как координаты конца минус координаты начала. Длину вычисляют по формуле √(a² + b²). При сложении, вычитании и умножении на число действуют с координатами по отдельности. Скалярное произведение равно a₁b₁ + a₂b₂; нулевой результат означает перпендикулярность ненулевых векторов.

Перед ответом проверь три вещи: верно ли выбрано направление, не потерялись ли скобки возле отрицательных чисел и соответствует ли результат условию. Если нужно подготовиться к экзаменационному формату, полезно заглянуть в разделы ОГЭ или ЕГЭ и выбрать задания по координатам и геометрии.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После этого будет понятно, какую часть темы стоит повторить: координаты, длину или операции с векторами.