Памятка: координатная плоскость

Координатная плоскость: что это такое

Если на графике теряются точки, путаются знаки или непонятно, в какую сторону двигаться, эта памятка поможет навести порядок. Координатная плоскость превращает положение точки в два числа: с ними можно читать графики, строить фигуры и уверенно решать задания ОГЭ и ЕГЭ.

Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными числовыми прямыми. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается Ox. Вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается Oy. Их пересечение — начало координат O. Его координаты: O(0; 0).

На каждой оси есть положительное и отрицательное направления. По оси Ox положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева. По оси Oy положительные числа располагаются выше нуля, отрицательные — ниже. Единичный отрезок на обеих осях обычно одинаковый, если в условии не сказано иначе.

Любая точка записывается так: A(x; y). Первое число показывает движение вправо или влево, второе — движение вверх или вниз. Между координатами ставят точку с запятой, чтобы не спутать их с десятичной дробью.

Как построить точку по координатам

Чтобы построить точку A(x; y), сначала найди на оси Ox значение x. От него проведи мысленно или тонко вертикальное направление. Затем на оси Oy найди значение y и проведи горизонтальное направление. Пересечение этих направлений и будет точкой A.

Удобно пользоваться правилом «сначала вправо-влево, потом вверх-вниз». Если x положительный, двигайся вправо, если отрицательный — влево. Если y положительный, поднимайся вверх, если отрицательный — опускайся вниз. Нулевая координата означает, что точка лежит прямо на одной из осей.

A(3; 2): от O → 3 единицы вправо → 2 единицы вверх
B(−4; 1): от O → 4 единицы влево → 1 единица вверх
C(0; −3): точка на Oy, 3 единицы ниже O

Если нужно отметить дробь, раздели единичный отрезок на равные части. Например, ¾ — это три из четырёх равных частей, а 2⅓ — два целых отрезка и ещё одна треть.

Четыре координатные четверти

Оси делят плоскость на четыре координатные четверти. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой области. В первой четверти обе координаты положительные. Во второй x отрицательный, а y положительный. В третьей обе координаты отрицательные. В четвёртой x положительный, а y отрицательный.

Четверть	Знак x	Знак y	Пример точки
I	+	+	(2; 3)
II	−	+	(−2; 3)
III	−	−	(−2; −3)
IV	+	−	(2; −3)

Чтобы быстро определить четверть, достаточно посмотреть только на знаки координат. Точка с координатой x = 0 не принадлежит ни одной четверти: она лежит на оси Oy. Аналогично точка с y = 0 лежит на оси Ox. Начало координат не относится ни к одной четверти.

Знаки особенно важны при чтении графиков и нахождении координат вершин фигур. Если точка выглядит правильно, но оказалась не в той четверти, проверь направление отсчёта и порядок координат.

Расстояние, середина и симметрия

Координаты позволяют находить основные характеристики точек без измерения линейкой. Если точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) лежат на одной горизонтали, расстояние между ними равно |x₂ − x₁|. Если они лежат на одной вертикали, расстояние равно |y₂ − y₁|.

Для произвольных точек разность координат образует прямоугольный треугольник. Тогда расстояние вычисляют по теореме Пифагора:

\( AB = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) \)

Координаты середины отрезка находят отдельно по каждой координате:

\( M(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

При симметрии относительно оси Ox меняется знак y: A(x; y) → A′(x; −y). При симметрии относительно Oy меняется знак x: A(x; y) → A′(−x; y). При симметрии относительно начала координат меняются оба знака: A(x; y) → A′(−x; −y).

Эти правила полезны в задачах на графики, координаты вершин и преобразование фигур. Главное — не менять координаты наугад, а назвать ось или точку, относительно которой выполняется симметрия.

Разобранный пример и типичные ошибки

Разберём задачу: построй точку A(−3; 2), найди её симметричные относительно осей точки и расстояние от A до начала координат.

1. x = −3, поэтому от O идём 3 единицы влево.
2. y = 2, поэтому поднимаемся на 2 единицы вверх.
3. Точка A находится во II четверти.
4. Относительно Ox знак y меняется: A₁(−3; −2).
5. Относительно Oy знак x меняется: A₂(3; 2).
\( 6. OA = √((-3)^2 + 2^2) = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{1}3. \)

Первая частая ошибка — записать координаты в обратном порядке. Вторая — считать отрицательное число как расстояние: координата −3 означает направление, а расстояние от оси всегда неотрицательно. Третья — забыть скобки при возведении отрицательного числа в квадрат: (−3)² = 9, а −3² = −9 по правилам порядка действий.

Ещё одна ошибка возникает при чтении масштаба: деления могут обозначать не одну, а 2, 5 или 10 единиц. Перед построением проверь, чему равен один маленький шаг.

Что запомнить

Координаты точки записываются в порядке (x; y): сначала горизонталь, затем вертикаль. По x двигаются вправо или влево, по y — вверх или вниз. Знаки координат определяют четверть: I — плюс и плюс, II — минус и плюс, III — минус и минус, IV — плюс и минус.

Точка с x = 0 лежит на Oy, точка с y = 0 — на Ox. Для симметрии относительно Ox меняется знак y, относительно Oy — знак x. Расстояние до начала координат находят по формуле √(x² + y²), а середину отрезка — усреднением соответствующих координат.

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После этого можно перейти к подборкам заданий ОГЭ или заданий ЕГЭ, если координатная плоскость встречается в твоём варианте.