Памятка: модуль числа

Что такое модуль числа

Если в примерах путаются знаки, а ответ «почти правильный» теряется из-за одной маленькой ошибки, начни с модуля числа. Эта памятка поможет быстро понять смысл темы, уверенно решать задания и проверять себя перед контрольной или экзаменом.

Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число, до нуля на координатной прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль любого числа всегда неотрицателен. Обозначают модуль вертикальными чертами: |a|.

Если число положительное или равно нулю, его модуль совпадает с самим числом. Если число отрицательное, модуль равен противоположному числу: знак «минус» исчезает, но само значение не становится нулём.

\( |7| = 7 \)
\( |0| = 0 \)
\( |-7| = 7 \)

Полезно представить модуль как вопрос: «Сколько шагов от этого числа до нуля?» От точки −7 до нуля семь единиц, и от точки 7 до нуля тоже семь единиц.

Определение и основные свойства

Формально модуль числа задают так: если a ≥ 0, то |a| = a; если a < 0, то |a| = −a. Второй случай означает, что к отрицательному числу нужно применить противоположный знак. Например, |−12| = −(−12) = 12.

Из определения следуют важные свойства. Модуль неотрицателен: |a| ≥ 0. Модули противоположных чисел равны: |−a| = |a|. Если модули равны нулю, то само число равно нулю: |a| = 0 только при a = 0.

При умножении и делении модулей знаки можно рассматривать отдельно: |a × b| = |a| × |b|, а при b ≠ 0 выполняется |a : b| = |a| : |b|. Эти правила особенно удобны, когда выражение содержит несколько множителей или дробь.

\( |-3| + |5| = 3 + 5 = 8 \)
\( |-2 \times 6| = |-12| = 12 \)
\( |-18| : |3| = 18 : 3 = 6 \)

Как раскрывать модуль

Чтобы раскрыть модуль с переменной, сначала нужно определить знак выражения внутри черточек. Если выражение неотрицательно, черточки можно убрать без изменений. Если оно отрицательно, перед всем выражением появляется знак «минус», а затем раскрываются скобки.

Например, при условии x ≥ 4 выражение x − 4 неотрицательно, поэтому |x − 4| = x − 4. При условии x < 4 выражение x − 4 отрицательно, значит |x − 4| = −(x − 4) = 4 − x.

В задачах с конкретным числом сначала вычисли выражение внутри модуля, а уже потом найди его модуль. Не пытайся убрать черточки только потому, что рядом стоит буква или скобки.

|2x − 1| при x = 3:
\( 2 \times 3 - 1 = 5 \)
\( |5| = 5 \)

Если внутри стоит дробь, корень или смешанное число, правила не меняются: сначала оцени знак, затем убери модуль. Например, |−¾| = ¾, а |−2⅓| = 2⅓.

Для дополнительной тренировки можно создать личный кабинет и бесплатно решить задания по этой теме, чтобы алгоритм стал привычным.

Уравнения и неравенства с модулем

Самый частый тип уравнения — |x| = a. Если a > 0, у него два решения: x = a и x = −a. Если a = 0, решение одно: x = 0. Если a < 0, решений нет, потому что модуль не может быть отрицательным.

|x| = 6 → x = 6 или x = −6
\( |x| = 0 \to x = 0 \)
|x| = −2 → решений нет

Для уравнения |x − 3| = 5 число x − 3 находится на расстоянии 5 от нуля. Поэтому возможны два случая: x − 3 = 5 или x − 3 = −5. Получаем x = 8 и x = −2.

Неравенства запоминаются через расстояние. Условие |x| < a означает, что точка находится внутри промежутка от −a до a: −a < x < a. Условие |x| ≥ a означает внешнюю область: x ≤ −a или x ≥ a, если a ≥ 0.

Условие	Решение при a > 0
|x| < a	−a < x < a
|x| ≤ a	−a ≤ x ≤ a
|x| > a	x < −a или x > a
|x| ≥ a	x ≤ −a или x ≥ a

После решения обязательно проверь хотя бы один найденный корень подстановкой.

Разобранный пример и типичные ошибки

Решим уравнение |2x − 4| = 6. Внутри модуля находится выражение, поэтому используем правило: оно может быть равно 6 или −6.

\( |2x - 4| = 6 \)
2x − 4 = 6 или 2x − 4 = −6
2x = 10 или 2x = −2
x = 5 или x = −1
Проверка: |2 × 5 − 4| = 6; |2 × (−1) − 4| = 6

Ответ: x = −1; 5. Запись двух корней важна: модуль описывает расстояние, а на прямой обычно есть две точки на одинаковом расстоянии от нуля.

Ещё одна ошибка — забыть скобки в записи −(2x − 4). Минус меняет знак каждого слагаемого: −(2x − 4) = −2x + 4. Наконец, не путай |−5| и −|5|: первое выражение равно 5, второе равно −5.

Если нужна практика с похожими примерами, открой бесплатную тренировку в личном кабинете и решай задания сразу после чтения правила.

Что запомнить

Модуль числа — это расстояние до нуля, поэтому он всегда неотрицателен. Положительное число и ноль не меняются, а у отрицательного числа знак «минус» убирается. При раскрытии модуля с переменной сначала выясняй знак выражения внутри черточек.

Для |x| = a при a > 0 получаем два решения: x = a и x = −a. В неравенствах знак «меньше» даёт промежуток между двумя точками, а знак «больше» — две внешние части. Проверка подстановкой помогает быстро заметить арифметическую ошибку.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После этого можно перейти к материалам для подготовки к ОГЭ или повторить тему в разделе подготовки к ЕГЭ, если она входит в твой план.