Памятка: задачи на работу

Что такое задачи на работу

Задачи на работу часто кажутся запутанными: в условии есть производительность, время, общий объём, а числа приходится связывать в одну систему. На самом деле здесь действует понятная схема. Разберёшь её один раз — и сможешь уверенно решать задачи про рабочих, насосы, трубы, станки и бригады. В этой памятке ты увидишь, как перевести текст на математический язык, выбрать удобную единицу работы и проверить ответ.

Работой называют весь объём задания: выкопать траншею, изготовить детали, заполнить бассейн или убрать помещение. Производительность показывает, какую часть работы выполняют за единицу времени. Если рабочий сделал всю работу за 5 часов, его производительность равна 1⁄5 работы в час.

Главная связь выглядит так: работа = производительность × время. Поэтому производительность = работа ÷ время, а время = работа ÷ производительность. Обычно всю работу принимают за 1. Иногда удобнее взять общий объём за число, которое делится на заданные части, например 12 деталей или 60 м².

Алгоритм решения по шагам

Шаг 1. Определи, что считается всей работой. Если в условии говорится «выполнить заказ», можно обозначить его за 1. Шаг 2. Найди производительность каждого участника: раздели всю работу на время, за которое он справляется один.

Шаг 3. Если работники действуют одновременно, сложи их производительности. Совместная производительность показывает, какую часть задания они выполняют за один час. Шаг 4. Раздели всю работу на совместную производительность и получишь общее время.

Шаг 5. Если один участник подключается позже или прекращает работу раньше, раздели решение на промежутки. Сначала вычисли объём, выполненный первым участником, затем оставшуюся часть и время её выполнения вместе или другим исполнителем.

Шаг 6. Проверь смысл результата. Вместе работники должны справиться быстрее каждого по отдельности. Если получилось наоборот, вероятно, производительности вычли вместо сложения или перепутали дробь.

Вся работа = 1
Производительность = 1 ÷ время
Совместная производительность = 1 ÷ t₁ + 1 ÷ t₂
Время совместной работы = 1 ÷ совместная производительность

Разобранный пример

Решим задачу полностью. Один мастер выполняет заказ за 6 часов, а второй — за 3 часа. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Примем весь заказ за 1. Производительность первого мастера равна 1⁄6 заказа в час, второго — 1⁄3 заказа в час. Теперь найдём, какую часть заказа они выполняют вместе за один час. Дроби приводим к общему знаменателю 6: 1⁄6 + 1⁄3 = 1⁄6 + 2⁄6 = 3⁄6 = 1⁄2.

Значит, за час мастера выполняют половину заказа. Весь заказ выполнят за 1 ÷ 1⁄2 = 2 часа.

Дано: t₁ = 6 ч, t₂ = 3 ч
r₁ = 1⁄6 работы в час
r₂ = 1⁄3 работы в час
\( r_{\text{общ}} = 1⁄6 + 1⁄3 = 1⁄2 \)
\( t = 1 \div 1⁄2 = 2 \text{ч} \)
Ответ: 2 часа.

Проверка: за 2 часа первый мастер выполнит 2⁄6 = 1⁄3 заказа, второй — 2⁄3. Вместе они выполнят 1⁄3 + 2⁄3 = 1 весь заказ. Ответ согласуется с условием.

Когда производительности складывают и вычитают

Если два исполнителя работают на один результат, их производительности складывают. Это относится к двум рабочим, двум насосам, двум станкам, заполняющим одну ёмкость. Если один насос наполняет бассейн, а другой одновременно его опустошает, производительности направлены навстречу: скорость наполнения складывают со знаком плюс, скорость утечки вычитают.

Например, насос заполняет резервуар за 4 часа, а слив выпускает его за 12 часов. За час изменение объёма равно 1⁄4 − 1⁄12 = 3⁄12 − 1⁄12 = 1⁄6. Значит, резервуар наполнится за 6 часов.

Ситуация	Действие с производительностями	Смысл
Два рабочих выполняют заказ	r₁ + r₂	Работа ускоряется
Один наполняет, другой сливает	r₁ − r₂	Учитывается чистый результат
Рабочий сделал часть заказа	r × t	Находим выполненную работу

Для дробей соблюдай общий знаменатель. Смешанное число 2⅓ сначала можно представить как 7⁄3, а затем выполнять действия. В задачах с площадью или количеством деталей не забывай привести все величины к одинаковым единицам.

Типичные ошибки и проверка

Ошибка 1 — принять за всю работу не то, что нужно. Если спрашивают время заполнения бассейна, весь бассейн можно обозначить за 1, а не за объём воды, который поступает за час.

Ошибка 2 — перепутать производительность и время. Запись «1⁄5 часа» означает время, а «1⁄5 работы в час» — производительность. Единицы помогают увидеть разницу.

Ошибка 3 — сложить времена двух рабочих. Сначала складываются доли работы за час, и только потом находится время всей работы. Ошибка 4 — забыть о неполном периоде. Если второй рабочий начал через час, сначала вычисли результат первого за этот час.

Полезна оценка: совместное время всегда меньше наименьшего индивидуального времени, если все работают одновременно и в одном направлении. Для проверки можно умножить найденное время на совместную производительность. Должна получиться 1.

Если хочешь закрепить алгоритм на разных сюжетах, используй бесплатную практику в личном кабинете: там удобно решать задания по одному и возвращаться к ошибкам.

Что запомнить

В задачах на работу ищи три величины: объём работы, производительность и время. Всю работу удобно принять за 1. Производительность одного исполнителя равна 1 ÷ его время. При совместной работе производительности складываются, а при противодействии одна вычитается из другой. Затем время находится делением всей работы на полученную производительность.

Решай по цепочке: выдели данные → выбери единицу всей работы → найди производительности → составь выражение → проверь единицы и смысл ответа. Если в условии есть задержка, раздели задачу на этапы. Если дроби неудобны, выбери общий знаменатель или конкретный объём.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, а затем отметь, на каком шаге возникла ошибка. Для экзамена полезно дополнительно повторить материалы ОГЭ или материалы ЕГЭ по задачам с производительностью.

Как закрепить тему после разбора?

Реши несколько задач с разными сюжетами: совместная работа, запаздывание и наполнение с утечкой. Каждый раз сначала записывай производительность, а не пытайся сразу составить ответ в уме.

Почему всю работу обозначают единицей?

Так проще выразить производительность дробью: если работа выполнена за 4 часа, за час выполняется 1⁄4 всей работы. При необходимости вместо 1 можно взять удобный общий объём.

Что делать, если рабочие начинают в разное время?

Раздели решение на этапы. Найди работу первого участника за время до присоединения второго, вычти её из общего объёма и рассчитай оставшееся время.

Как понять, что ответ реалистичен?

При совместной работе в одном направлении время должно быть меньше индивидуального времени каждого. Дополнительно умножь совместную производительность на найденное время: результат должен быть равен всей работе.