Площади фигур: все формулы с выводом

Что такое площадь

Площадь измеряют в единичных квадратах: фигура площадью 5 см² — это пять квадратиков со стороной 1 см. Все формулы ниже отвечают на один вопрос: сколько квадратиков помещается внутри. Поэтому их не нужно зубрить списком — каждая выводится из предыдущей за пару строк.

Прямоугольник: с чего всё начинается

Прямоугольник со сторонами a и b разрезается на a·b единичных квадратиков: по a штук в каждом из b рядов. Отсюда стартовая формула, из которой вырастают все остальные.

\( S = a \cdot b \)

Треугольник: три формулы

Первая — самая ходовая. Разрежь прямоугольник со сторонами a и h по диагонали: получатся два равных треугольника, и каждый занимает ровно половину. Любой треугольник достраивается до параллелограмма с тем же основанием и высотой, поэтому правило «половина произведения основания на высоту» работает всегда.

\( S = ½ \cdot a \cdot h \)

Вторая выручает, когда высоты в условии нет, зато даны две стороны a и b и угол γ между ними. Высота к стороне a равна b·sin γ — подставляем и получаем:

\( S = ½ \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \)

Третья — формула Герона. Она работает, когда известны все три стороны a, b и c: считаем полупериметр p = (a + b + c)/2 и подставляем.

\( S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)) \)

Проверь Герона на треугольнике 3–4–5: полупериметр равен 6, под корнем выходит 36, и S = 6 — столько же даёт первая формула, ½·3·4.

Параллелограмм

Отрежь у параллелограмма треугольник с одного бока и приставь его с другого — получится прямоугольник с тем же основанием a и той же высотой h.

\( S = a \cdot h \)

Есть и запись через две стороны и угол: S = a·b·sin α — диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, и два раза «по половине» дают целое произведение.

Трапеция

Разрежь трапецию с основаниями a и b диагональю — получатся два треугольника с общей высотой h. Сложим их площади:

\( S = ½ \cdot a \cdot h + ½ \cdot b \cdot h = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)

В скобках стоит полусумма оснований, поэтому правило звучит просто: средняя линия, умноженная на высоту.

Круг и сектор

Строгий вывод формулы круга выходит за рамки школьного курса, поэтому её принимают как факт:

\( S = \pi R^2 \)

Сектор — это кусок круга. Если угол сектора равен α градусов, то сектор составляет α/360 часть полного круга:

\( S = \pi R^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360} \)

Например, сектор с углом 90° — четверть круга: делишь πR² на четыре. Вписанные углы и касательные разобраны в статье про окружность и касательные.

Клетчатая бумага и формула Пика

На ОГЭ фигуры часто нарисованы на клетчатой бумаге. Надёжный путь — разбить фигуру на прямоугольники и треугольники либо достроить до прямоугольника и вычесть лишнее. Быстрее работает формула Пика, но только если все вершины попадают в узлы сетки:

S = В + Г/2 − 1

Здесь В — узлы внутри фигуры, Г — узлы на её границе. Проверь на треугольнике с катетами 3 и 4: внутри 3 узла, на границе 8, и S = 3 + 8/2 − 1 = 6 — половина от прямоугольника 3×4.

Важно: формула Пика работает только для многоугольников с вершинами в узлах сетки — круги и дуги так не считать, такие задачи решай разбиением.

Шпаргалка по формулам

Собери всё на один экран — этой таблицы хватает почти для любой задачи первой части:

Фигура	Формула площади
Прямоугольник	S = a·b
Квадрат	S = a²
Треугольник	S = ½·a·h
Треугольник: две стороны и угол	S = ½·a·b·sin γ
Треугольник: три стороны	S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
Параллелограмм	S = a·h
Трапеция	S = (a + b)/2 · h
Круг	S = πR²
Сектор с углом α°	S = πR²·α/360

Площади — тема-конструктор: прямоугольник даёт треугольник, треугольник — параллелограмм и трапецию. Освоил один вывод — получил сразу несколько формул. Дальше помогут статьи про треугольники на ОГЭ и ЕГЭ и окружность и касательные, а для третьего измерения — стереометрия: объёмы и площади тел.

И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.