Стереометрия: объёмы и площади тел

Что такое объём

Объём показывает, сколько места занимает тело, и измеряется в кубических единицах. Площадь поверхности — «обёртка» тела: сколько материала нужно, чтобы оклеить его снаружи. Перепутать их — значит потерять балл, поэтому смотри, что спрашивают.

Почти все формулы собираются из одной идеи: объём равен площади основания, умноженной на высоту.

\( V = S \cdot h \)

Держи эту идею в голове, и половина стереометрии перестанет быть зубрёжкой.

Куб и параллелепипед

Куб — самый честный из тел: все рёбра равны a. Объём и площадь полной поверхности считаются мгновенно.

\( V = a^3 \)

\( S = 6a^2 \)

Пример: ребро 5. Тогда объём 5³ = 125, а площадь поверхности 6 · 25 = 150.

У прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина a, ширина b и высота c. Формулы почти такие же, только вместо куба — произведение.

\( V = abc \)

\( S = 2(ab + bc + ac) \)

Отдельно пригодится диагональ — отрезок между противоположными вершинами. Она находится через теорему Пифагора, применённую дважды.

\( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \)

Цилиндр

Цилиндр — это «банка»: два одинаковых круга радиуса r и прямоугольная боковая стенка высотой h. Объём получаем из принципа «основание на высоту», а боковую поверхность — мысленно разрезав банку и развернув стенку в прямоугольник шириной 2πr.

\( V = \pi r^2h \)

S бок = 2πrh

S полн = 2πr(r + h)

Пример: радиус 3, высота 4. Объём π · 9 · 4 = 36π, боковая поверхность 2π · 3 · 4 = 24π. Развёртка превращает сложный вопрос в умножение трёх чисел.

Конус

У конуса круглое основание, вершина и образующая l, которая связана с радиусом и высотой как гипотенуза прямоугольного треугольника: l² = r² + h². Объём конуса — ровно треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

\( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2h \)

S бок = πrl

S полн = πr(r + l)

Пример: радиус 3, высота 4 — тогда образующая l = 5, боковая поверхность π · 3 · 5 = 15π, объём 1/3 π · 9 · 4 = 12π. Тройка 3–4–5 неслучайна: на экзамене она встречается часто.

Шар

Шар задаётся одним числом — радиусом r. Формул всего две: объём растёт как куб радиуса, площадь сферы — как квадрат.

\( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \)

\( S = 4\pi r^2 \)

Пример: радиус 2. Объём 4/3 π · 8 = 32π/3, площадь сферы 4π · 4 = 16π. Мнемоника: площадь сферы в четыре раза больше площади большого круга πr².

Как решать задачи ЕГЭ

Задачи по стереометрии в ЕГЭ обычно короткие: дано тело и одно-два изменения — найди объём или площадь. Работай по шагам.

1. Выпиши, что дано и что нужно найти.
2. Определи тело и выбери формулу.
3. Проверь, радиус или диаметр дан в условии.
4. Подставь числа и аккуратно посчитай.
5. Сверь единицы и прикинь порядок ответа.

Типовая задача: ребро куба увеличили в 2 раза — во сколько раз вырос объём? Считаем: (2a)³ = 8a³. Ответ: в 8 раз. Общее правило: при увеличении всех размеров в k раз объём вырастает в k³ раз, а площадь поверхности — в k² раз.

Актуальную структуру экзамена и типы заданий всегда уточняй на официальном сайте ФИПИ — формулы из этой статьи при этом не меняются.

Три ловушки темы

Первая ловушка — диаметр вместо радиуса. В формулы входит радиус, а в условии часто дают диаметр, поэтому перед подстановкой дели на 2. Большинство неверных ответов рождается именно здесь.

Вторая ловушка — полная и боковая поверхность. Если спрашивают «площадь поверхности», обычно имеется в виду полная: боковая плюс основания. Читай вопрос дословно.

Третья ловушка — единицы. Один литр — это кубический дециметр, а в кубическом метре 1000 литров. Если объём в литрах, а размеры в метрах, переведи всё в одни единицы до формулы.

Стереометрия опирается на планиметрию: объёмы считаются через площади, а диагонали и образующие — через прямоугольные треугольники. Подтянуть базу помогут статьи про площади фигур и теорему Пифагора, а для быстрых вычислений с корнями пригодится материал про квадратные корни.

Шесть формул, развёртки и внимание к радиусу — этого достаточно, чтобы стереометрия стала источником спокойных баллов. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.