Средняя скорость

Что такое средняя скорость

Если в задаче тело движется сначала быстро, потом медленно, а время дано в минутах и часах, легко потерять баллы на одном неверном действии. Разберём тему так, чтобы ты понимал не только формулу, но и логику решения: какую величину складывать, в каких единицах считать и почему обычное среднее арифметическое скоростей часто не подходит.

Средняя скорость показывает, какой путь тело в среднем проходит за единицу времени на всём рассматриваемом участке движения. Главная формула:

\( v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} / t_{\text{общ}} \)
vср — средняя скорость, м/с
Sобщ — весь пройденный путь, м
tобщ — всё время движения, с

Здесь важно видеть именно общий путь и общее время. Если автомобиль проехал несколько участков, нужно сложить расстояния и продолжительности, а уже затем выполнить деление. Средняя скорость не является обязательно средним арифметическим скоростей на отдельных отрезках.

После разбора полезно сразу проверить себя на похожих примерах в бесплатной практике в личном кабинете: так правило быстрее превращается в устойчивый навык.

Базовый алгоритм решения

Для большинства задач ЕГЭ удобно действовать по одному алгоритму. Сначала выпиши, какие участки пути проходит тело. Затем переведи все расстояния в одну систему единиц, например в метры, а время — в секунды. После этого найди общий путь, общий промежуток времени и только потом среднюю скорость.

\( 1) S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 + … \)
\( 2) t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 + … \)
\( 3) v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} / t_{\text{общ}} \)

Если движение состоит из остановки и движения, остановка тоже входит в общее время, если в условии спрашивается средняя скорость за весь промежуток. Во время остановки пройденный путь равен нулю, но часы продолжают идти. Поэтому средняя скорость за поездку с остановкой меньше скорости на движущихся участках.

Перед подстановкой оцени результат: средняя скорость должна иметь единицы скорости, например м/с или км/ч.

Единицы измерения и перевод

В задачах часто встречаются километры, метры, часы, минуты и секунды. Нельзя складывать 2 км и 500 м без перевода, как нельзя делить путь в километрах на время в секундах и получать привычный ответ без контроля единиц.

1 км = 1000 м
1 ч = 3600 с
1 мин = 60 с
\( 1 \text{м/с} = 3,6 \text{\text{км}/\text{ч}} \)
\( 1 \text{\text{км}/\text{ч}} = \dfrac{1}{3,6} \text{м/с} \)

Выбирай систему единиц по условию. Если ответ требуется в км/ч, можно считать расстояния в километрах, а время — в часах. Но при сложных комбинациях безопаснее перевести всё в СИ: метры и секунды. Например, 90 км/ч = 90 / 3,6 = 25 м/с.

Дано	Перевод	Результат
2,4 км	2,4 × 1000 м	2400 м
15 мин	15 / 60 ч	0,25 ч
72 км/ч	72 / 3,6 м/с	20 м/с

Закрепить перевод единиц можно в заданиях личного кабинета, где удобно возвращаться к ошибкам и повторять именно слабое место.

Типовая задача с разными участками

Автомобиль первую половину пути ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 40 км/ч. Найдём среднюю скорость. Удобно обозначить весь путь через 2S. Тогда каждый участок равен S. Время на первом отрезке равно S / 60, на втором — S / 40. Общее время складывается, потому что участки проходятся последовательно.

Дано: v₁ = 60 км/ч, v₂ = 40 км/ч
\( S_1 = S_2 = S \)
\( t_{\text{общ}} = \dfrac{S}{60} + \dfrac{S}{40} = \dfrac{S}{24} \)
\( v_{\text{ср}} = 2\dfrac{S}{\dfrac{S}{24}} = 48 \text{\text{км}/\text{ч}} \)
Ответ: vср = 48 км/ч

Обрати внимание: число 48 км/ч не равно (60 + 40) / 2 = 50 км/ч. При равных путях медленный участок занимает больше времени, поэтому сильнее влияет на результат. Для равных времён ситуация другая: тогда средняя скорость действительно равна среднему арифметическому скоростей, потому что за одинаковое время пройденные пути пропорциональны скоростям.

Если в условии сказано «половину времени», сначала вырази времена участков, а не пути. Это ключевое различие, которое часто проверяют в заданиях.

Частые ошибки на экзамене

Первая ошибка — сложить скорости и разделить на два без анализа условия. Такой способ допустим только при равных промежутках времени, а не просто потому, что скоростей две. Вторая ошибка — не включить остановку в общее время. Если поезд стоял 10 минут, эти минуты уменьшают среднюю скорость за весь маршрут.

Третья ошибка — потерять единицы: например, использовать путь в километрах и время в секундах, а результат записать как км/ч. Четвёртая — перепутать среднюю скорость и среднюю скорость перемещения. В школьных задачах о пройденном пути обычно нужна скалярная средняя скорость: весь путь делится на всё время.

Перед ответом проверь три вещи: учтены ли все участки, переведены ли единицы и разумно ли выглядит число. Если была остановка, результат не должен превышать среднюю скорость без остановки на том же маршруте.

Что запомнить

Средняя скорость определяется формулой vср = Sобщ / tобщ. Сначала складывай все пройденные пути, затем все промежутки времени, включая остановки, если они входят в рассматриваемый интервал. Только после этого дели общий путь на общее время.

При равных путях средняя скорость не равна обычному среднему арифметическому: медленный участок длится дольше. При равных временах среднее арифметическое применить можно. Всегда следи за единицами: 1 м/с = 3,6 км/ч.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения объясни себе, что именно было общим: путь или время. Такой короткий разбор помогает не угадывать формулу, а выбирать её осознанно.