Вклады и сложные проценты

Пойми, как растут деньги на вкладе

В задачах про вклады легко потерять баллы из-за одной неверной операции со степенью или процента. Разберём тему так, чтобы ты видел логику решения, быстро выбирал формулу и не путал простой процент со сложным.

Вклад — это деньги, которые клиент размещает в банке на определённый срок. Банк начисляет доход по процентной ставке. Если проценты каждый раз добавляются к первоначальной сумме, это простой процент. Если начисленный доход присоединяется к вкладу и в следующем периоде тоже приносит доход, возникают сложные проценты.

Главная идея сложного процента: каждый новый период вклад умножается на один и тот же множитель. При ставке r процентов этот множитель равен 1 + r ÷ 100. Например, при ставке 8% сумма за период умножается на 1,08.

Было: S
После одного периода: S × 1,08
После двух периодов: S × 1,08 × 1,08 = S × 1,08²

Сначала определи, сколько раз начисляются проценты. Это число станет показателем степени. Если начисление происходит ежегодно два года, показатель равен 2. Если каждый квартал в течение года — 4.

Выбери правильную формулу

Для сложных процентов используется формула итоговой суммы: Sₙ = S₀ × (1 + r ÷ 100)ⁿ. Здесь S₀ — первоначальный вклад, r — процентная ставка за один период, n — число периодов, а Sₙ — сумма в конце срока.

Важно, чтобы ставка и количество периодов относились к одному промежутку времени. Годовая ставка при ежегодном начислении подходит напрямую. Если проценты начисляются ежемесячно, годовую ставку обычно делят на 12, а число лет умножают на 12, если это предусмотрено условием.

Доход можно найти отдельно: D = Sₙ − S₀. Иногда в вопросе спрашивают, во сколько раз увеличился вклад. Тогда нужно вычислить отношение Sₙ ÷ S₀.

Что известно	Что используем
Сумма после n периодов	Sₙ = S₀ × (1 + r ÷ 100)ⁿ
Первоначальная сумма	S₀ = Sₙ ÷ (1 + r ÷ 100)ⁿ
Доход	D = Sₙ − S₀

Реши задачу по шагам

Рассмотрим типичную задачу. Ученик положил 50 000 рублей на вклад под 10% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько рублей будет на счёте через два года?

Капитализация означает, что проценты не снимают, а добавляют к вкладу. Значит, каждый год сумма умножается на 1,10. Можно решить задачу формулой или расписать два последовательных увеличения.

\( S_0 = 50 000 \)
\( r = 10\% \)
\( n = 2 \)
\( S_2 = 50 000 \times (1 + 10 \div 100)^2 \)
\( S_2 = 50 000 \times 1,1^2 \)
\( S_2 = 50 000 \times 1,21 = 60 500 \)
Ответ: 60 500 рублей.

Проверим тем же способом. После первого года получится 50 000 × 1,1 = 55 000 рублей. Во втором году проценты начислят уже на 55 000: 55 000 × 1,1 = 60 500 рублей. Доход составил 60 500 − 50 000 = 10 500 рублей.

Обрати внимание: нельзя просто умножить 50 000 на 1,20. Это дало бы 60 000 рублей и соответствовало бы простому начислению по 10% от первоначальной суммы каждый год.

Разберись с капитализацией и периодами

Капитализация бывает ежегодной, ежемесячной или ежеквартальной. При каждом начислении вклад увеличивается, а затем новый размер становится основой для следующего начисления.

Если ставка за один период равна i, а число периодов равно n, формула записывается так: Sₙ = S₀ × (1 + i ÷ 100)ⁿ. Например, при ежемесячной капитализации за два года будет 24 периода. Если дана годовая ставка 12% и условие требует равномерного деления ставки, месячная ставка равна 12 ÷ 12 = 1%.

\( S_2_4 = S_0 \times (1 + 1 \div 100)^2^4 \)
\( S_2_4 = S_0 \times 1,01^2^4 \)

Всегда внимательно читай условие. Иногда банк указывает эффективную годовую ставку, и тогда нельзя автоматически делить её на 12. В школьных задачах способ пересчёта обычно дан прямо или подразумевается стандартным правилом.

Если требуется найти срок, можно сравнивать степени или последовательно умножать сумму на множитель. Для небольших показателей это надёжнее, чем пытаться применять сложные преобразования.

Короткая практика в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» доступна по ссылке ../auth.html.

Избеги ошибок в задачах

Первая ошибка — прибавить к сумме сам процент, например записать 50 000 + 10. Процент нужно перевести в долю: 10% = 0,10, поэтому множитель равен 1,10.

Вторая ошибка — забыть степень. При двух периодах множитель используется дважды: 1,1², а не 1,1. Третья ошибка — взять в качестве основы первоначальный вклад во всех периодах. При сложных процентах основа меняется после каждого начисления.

Четвёртая ошибка — перепутать доход и итоговую сумму. Если получилось 10 500 рублей, это может быть только доход, а не размер вклада. Сверяй ответ с вопросом.

Наконец, проверь здравый смысл. При положительной ставке итоговая сумма должна быть больше первоначальной, а при сложных процентах за несколько периодов — обычно больше результата простого начисления.

Запомни алгоритм и потренируйся

Сложные проценты — это повторное умножение вклада на один и тот же множитель. Ставку r процентов превращаем в множитель 1 + r ÷ 100, количество начислений записываем показателем степени, а затем находим итоговую сумму.

1. Выпиши S₀, r и n.
2. Найди множитель: 1 + r ÷ 100.
3. Возведи его в степень n.
4. Умножь на S₀.
5. Проверь, что именно спрашивается: сумма или доход.

Если капитализация происходит несколько раз в год, согласуй ставку и количество периодов. Не дели годовую ставку на 12 без проверки условия.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме без оплаты. Практика поможет заметить, где именно появляется ошибка: в переводе процентов, степени или вычислениях.

Перейти к тренировке можно через личный кабинет «Просто Урок».