Задача на цикл Карно

Цикл Карно: почему задача кажется страшной

В задачах на цикл Карно легко потеряться: здесь встречаются КПД, температуры, количество теплоты и работа газа. Но за сложными словами скрывается понятный алгоритм. Если научиться различать нагреватель и холодильник, правильно перевести градусы Цельсия в кельвины и выбрать нужную формулу, типовая задача решается спокойно и без угадываний.

Цикл Карно — это идеальный обратимый тепловой цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Газ получает теплоту от нагревателя при постоянной температуре, расширяется, затем охлаждается без теплообмена, отдаёт часть энергии холодильнику и возвращается в исходное состояние.

В школьных задачах обычно не требуется подробно строить график. Чаще всего известны температуры нагревателя и холодильника, количество теплоты или работа за цикл. Нужно найти КПД, полезную работу либо неизвестную температуру.

Главная идея: двигатель не превращает всю полученную теплоту в работу. Часть энергии обязательно передаётся холодильнику. Поэтому КПД всегда меньше 100%, а расчёт начинают с анализа энергетического баланса.

Главные формулы и обозначения

Температуру в формуле цикла Карно используют только в кельвинах. Если в условии указаны градусы Цельсия, сначала прибавь 273 к каждому значению. Например, 27 °C соответствует примерно 300 К, а 127 °C — примерно 400 К.

КПД теплового двигателя показывает, какая доля теплоты нагревателя превращается в механическую работу. Для идеального цикла Карно он зависит только от абсолютных температур двух резервуаров:

\( \eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} \)
\( \eta = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} \)
T₁ — температура нагревателя, К
T₂ — температура холодильника, К

Если известны полученная теплота Q₁ и отданная теплота Q₂, можно использовать другое выражение:

\( \eta = \dfrac{Q_1 - Q_2}{Q_1} \)
\( A = Q_1 - Q_2 \)
A — работа двигателя за цикл, Дж

Не путай обозначения: Q₁ — теплота, полученная от нагревателя, а Q₂ — теплота, переданная холодильнику. Величины Q₁ и Q₂ измеряются в джоулях, работа A — тоже в джоулях.

Алгоритм решения задачи

Начни с чтения условия и определи, что именно спрашивается. Если нужно найти КПД, почти всегда достаточно температур. Если требуется работа, сначала найди КПД, а затем используй связь η = A / Q₁.

Удобный порядок действий выглядит так:

1. Выписать данные и искомую величину
2. Перевести температуры в кельвины
3. Выбрать формулу КПД Карно
4. Найти промежуточную величину
5. Подставить единицы и проверить результат

Проверка результата обязательна. КПД записывают либо десятичной дробью, либо в процентах. Например, 0,25 = 25%. Температура холодильника должна быть ниже температуры нагревателя, иначе двигатель не сможет работать в обычном направлении.

Если дана работа и КПД, количество теплоты нагревателя находится перестановкой формулы: Q₁ = A / η. Если известны КПД и температура нагревателя, температуру холодильника можно найти так:

\( T_2 = T_1 \times (1 - \eta ) \)

В бесплатной практике в личном кабинете можно закрепить именно этот алгоритм на похожих примерах.

Типовая задача: Дано → Решение → Ответ

Рассмотрим задачу, в которой двигатель Карно работает между нагревателем с температурой 127 °C и холодильником с температурой 27 °C. За цикл двигатель получает от нагревателя 4 кДж теплоты. Найдём КПД и работу двигателя.

Дано:
\( t_1 = 127 ^\circ C \)
\( t_2 = 27 ^\circ C \)
\( Q_1 = 4 \text{кДж} = 4000 \text{Дж} \)
Найти: η, A

Решение:
T₁ = 127 + 273 = 400 К
T₂ = 27 + 273 = 300 К
\( \eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} = \dfrac{400 - 300}{400} = 0,25 \)
\( \eta = 25\% \)
\( A = \eta \times Q_1 = 0,25 \times 4000 \text{Дж} = 1000 \text{Дж} \)

Смысл результата такой: из 4000 Дж, полученных от нагревателя, полезной работой стали 1000 Дж. Остальные 3000 Дж переданы холодильнику. Это можно проверить энергетическим балансом:

\( Q_2 = Q_1 - A \)
\( Q_2 = 4000 \text{Дж} - 1000 \text{Дж} = 3000 \text{Дж} \)

Ответ: КПД двигателя равен 25%, работа за цикл — 1000 Дж.

Как не ошибиться на экзамене

Самая частая ошибка — забыть о переводе температур. Вторая — перепутать, какая температура относится к нагревателю. В формуле T₁ стоит температура более горячего тела, поэтому она должна быть больше T₂.

Что дано	Что использовать	Единицы
T₁ и T₂	η = 1 − T₂ / T₁	К
Q₁ и Q₂	A = Q₁ − Q₂	Дж
A и Q₁	η = A / Q₁	Дж, без единиц

Следи за приставками: 1 кДж = 1000 Дж, 1 МДж = 1 000 000 Дж. Если в условии работа дана в килоджоулях, можно оставить все теплоты в килоджоулях, но единицы должны быть одинаковыми.

Полезно оценивать ответ здравым смыслом. При температурах 400 К и 300 К КПД равен 25%, а не 2500% и не 0,25%. Чем ближе температура холодильника к температуре нагревателя, тем ниже КПД.

Если хочется отработать перевод единиц и выбор формулы, используй бесплатную практику в личном кабинете.

Что запомнить

Цикл Карно — идеальная модель теплового двигателя. Его КПД определяется только температурами нагревателя и холодильника:

\( \eta = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} \)
T₁ и T₂ обязательно выражаются в кельвинах

Работа двигателя равна разности теплоты, полученной от нагревателя, и теплоты, отданной холодильнику: A = Q₁ − Q₂. Если известны Q₁ и КПД, работу находят по формуле A = η × Q₁.

Перед решением проверь три вещи: температуры переведены в кельвины, T₁ больше T₂, единицы теплоты и работы согласованы. После вычислений вырази КПД в процентах и оцени, реалистичен ли результат.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Так формула превратится в устойчивый навык, а не останется разовым примером.