Задача на цепь с ЭДС и резисторами

Почему цепь с ЭДС кажется страшной

Задачи на цепь с ЭДС и резисторами часто пугают не сложными вычислениями, а рисунком: батарея, несколько сопротивлений, стрелки токов и непонятные обозначения. Но если разложить условие на шаги, почти всегда используется несколько знакомых правил. В этом разборе ты научишься находить ток, напряжение и мощность в цепи, отличать внешнее сопротивление от внутреннего и проверять ответ по единицам. Такой алгоритм пригодится и на школьной контрольной, и при подготовке к ОГЭ или ЕГЭ.

ЭДС обозначают буквой ε. Она показывает работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника. Реальный источник имеет внутреннее сопротивление r, поэтому часть энергии теряется внутри батареи. Если к источнику подключены резисторы, ток зависит не только от ЭДС, но и от полного сопротивления всей цепи.

Главное правило начала решения: сначала выясни, как соединены резисторы, затем найди их эквивалентное сопротивление, и только после этого подставляй величины в закон Ома для полной цепи.

Какие величины нужны в задаче

Для полной цепи используется формула, в которой учитываются и внешнее, и внутреннее сопротивление источника:

\( I = ε / (R_{\text{внеш}} + r) \)
где I — сила тока, А; ε — ЭДС, В; Rвнеш — сопротивление внешней цепи, Ом; r — внутреннее сопротивление источника, Ом.

Напряжение на внешней цепи можно найти двумя равными способами:

\( U = I \times R_{\text{внеш}} \)
\( U = ε - I \times r \)

Второе выражение полезно для проверки: напряжение на зажимах источника меньше ЭДС, если через источник течёт ток. Разность I × r называют падением напряжения внутри источника.

Если резисторы соединены последовательно, их сопротивления складываются:

\( R_{\text{посл}} = R_1 + R_2 + … \)

При параллельном соединении складываются проводимости:

\( \dfrac{1}{R_{\text{пар}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + … \)
для двух резисторов: Rпар = R₁ × R₂ / (R₁ + R₂)

Алгоритм решения по схеме

Начни с участка, где соединение очевидно. Если два резистора стоят последовательно, замени их одним сопротивлением. Если параллельно — используй формулу для параллельной ветви. После каждой замены полезно мысленно нарисовать упрощённую схему, чтобы не перепутать участки.

Затем прибавь внутреннее сопротивление источника. Это важный момент: r не относится к внешнему соединению резисторов, но входит в общий знаменатель закона Ома для полной цепи.

Следующий шаг — найти общий ток. В последовательной цепи он одинаков во всех элементах. В параллельной цепи общий ток делится по ветвям, поэтому ток отдельного резистора находят после вычисления напряжения на параллельном участке.

Чтобы найти напряжение на конкретном резисторе, примени закон Ома для участка:

\( U_1 = I_1 \times R_1 \)

Мощность можно определить так:

\( P = U \times I = I^2 \times R = \dfrac{U^2}{R} \)

Выбирай формулу по тем величинам, которые уже известны. В конце проверь здравый смысл: при наличии внутреннего сопротивления напряжение на нагрузке не должно превышать ЭДС.

Типовая задача с последовательными резисторами

Источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 1 Ом. К нему подключены последовательно два резистора: R₁ = 5 Ом и R₂ = 6 Ом. Найдём силу тока в цепи и напряжение на внешнем участке.

Дано:
\( ε = 12 \text{В} \)
\( r = 1 \text{Ом} \)
\( R_1 = 5 \text{Ом} \)
\( R_2 = 6 \text{Ом} \)
Найти: I, U.

Решение:
1. Внешние резисторы соединены последовательно:
\( R_{\text{внеш}} = R_1 + R_2 = 5 \text{Ом} + 6 \text{Ом} = 11 \text{Ом}. \)
2. Полное сопротивление цепи:
\( R_{\text{пол}} = R_{\text{внеш}} + r = 11 \text{Ом} + 1 \text{Ом} = 12 \text{Ом}. \)
3. Сила тока:
\( I = ε / R_{\text{пол}} = 12 \text{В} / 12 \text{Ом} = 1 \text{А}. \)
4. Напряжение на внешнем участке:
\( U = I \times R_{\text{внеш}} = 1 \text{А} \times 11 \text{Ом} = 11 \text{В}. \)

Ответ: сила тока в цепи равна 1 А, напряжение на внешних резисторах — 11 В.

Проверим результат вторым способом: U = ε − I × r = 12 В − 1 А × 1 Ом = 11 В. Ответ согласуется, значит, внутреннее сопротивление учтено правильно. Напряжение на отдельных резисторах равно 5 В и 6 В, а их сумма даёт 11 В.

Ловушки и быстрая проверка ответа

Самая распространённая ошибка — использовать формулу I = U / Rвнеш и считать, что источнику всё равно, какое у него внутреннее сопротивление. Так можно делать только для идеального источника или если внутренним сопротивлением разрешено пренебречь. В обычной задаче с ЭДС и r оно обязательно входит в расчёт полного тока.

Вторая ловушка — перепутать последовательное и параллельное соединение. При последовательном соединении ток один и тот же, а напряжения складываются. При параллельном соединении одинаково напряжение на ветвях, а токи складываются.

Что проверяем	Признак правильного решения
Единицы	ЭДС и напряжение — В, ток — А, сопротивление — Ом
Напряжение	U на нагрузке меньше ε при r > 0 и I > 0
Последовательная цепь	Сумма напряжений на элементах равна напряжению участка
Мощность	Измеряется в ваттах, P = U × I

Если ответ выглядит подозрительно, сначала проверь схему, затем единицы и только потом арифметику.

Что запомнить

Решение задачи на цепь с ЭДС удобно строить по одному маршруту: определить соединение резисторов, найти Rвнеш, прибавить внутреннее сопротивление r, вычислить ток по формуле I = ε / (Rвнеш + r), а затем найти нужные напряжения и мощности.

Запомни три опоры: при последовательном соединении сопротивления складываются; при параллельном соединении одинаково напряжение на ветвях; внутреннее сопротивление уменьшает напряжение на внешней цепи. Проверка через формулу U = ε − I × r помогает быстро обнаружить ошибку.

Для закрепления не ограничивайся одним примером: реши задачу с параллельными резисторами и сравни токи в ветвях. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно, чтобы алгоритм стал привычным. Если нужна системная подготовка, посмотри материалы для ОГЭ или ЕГЭ.