Задание 13 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что это за задание

В задании 13 базового ЕГЭ проверяют стереометрию — геометрию в трёх измерениях. Речь почти всегда о сосудах и телах: куб, параллелепипед, цилиндр, конус, шар. Формулировки житейские: сколько воды влезет в бак, каким станет уровень после переливания, во сколько раз одна кружка вместительнее другой. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывать решение не нужно.

Нужные формулы есть в справочных материалах, которые выдают прямо на экзамене. Но чтобы выбрать нужную и не запутаться в размерах, их стоит понимать, а не просто находить в списке. Весь набор умещается в пять строк.

Формулы объёмов, которые нужны

V куба = a³

V параллелепипеда = abc

V цилиндра = πr²h

V конуса = 13 · πr²h

V шара = 43 · πr³

Принцип общий: объём — это площадь основания, умноженная на высоту. У цилиндра основание — круг, поэтому V = πr²h. У конуса база та же, но тело сужается к вершине, поэтому объём втрое меньше — это отношение стоит запомнить отдельно: конус и цилиндр с одинаковым основанием и высотой отличаются в 3 раза всегда.

Куб и параллелепипед — частные случаи той же идеи: V = abc. А для воды в любом сосуде с постоянным сечением работает самая универсальная формула номера.

V жидкости = S дна · h

Переливания воды и уровни жидкости

Самый частый сюжет номера: воду переливают из одного сосуда в другой и спрашивают новый уровень. Ключ к решению — одна мысль: объём воды при переливании не меняется.

Пример: в цилиндрическом сосуде уровень воды достигает 12 см. Всю воду перелили в цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше. Каким станет уровень воды?

1. Записываем старый объём: V₁ = πr² · 12.
2. Новый радиус — 2r, значит V₂ = π(2r)² · h = 4πr² · h.
3. Объём воды тот же: 4πr²h = 12πr², откуда h = 3.
4. Ответ: 3.

Обрати внимание: π и r сократились. В переливаниях так бывает почти всегда, поэтому не бойся букв — аккуратно подставляй и сокращай. Здравый смысл подтверждает: дно стало в 4 раза больше, значит тот же объём воды растянется слоем в 4 раза тоньше.

Та же логика работает и в обратную сторону: если радиус стал вдвое меньше, уровень вырастет в 4 раза. А если коническую воронку заменить цилиндром с тем же основанием и уровнем, объём изменится втрое — на этом контрасте тоже любят строить задачи.

Сравнение сосудов и изменение размеров

Второй сюжет — сравнение вместимости. Пример: одна кружка вдвое выше другой, зато вторая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее и во сколько раз?

1. Пусть у второй, «широкой» кружки радиус r и высота h: V₂ = πr²h.
2. Первая, «высокая» — вдвое выше: V₁ = πr² · 2h = 2πr²h.
3. Ширина выросла в 1,5 раза, значит радиус тоже: V₂ = π(1,5r)²h = 2,25πr²h.
4. Сравниваем: 2,25 / 2 = 1,125. Ответ: широкая, в 1,125 раза.

Смысл примера не в цифрах, а в выводе: диаметр входит в формулу в квадрате, поэтому «шире» часто важнее, чем «выше». Проверь кружки глазами: расширение в 1,5 раза почти компенсирует потерю высоты в 2 раза.

Отдельное правило — для задач, где все размеры меняют сразу.

размеры ×k → объём ×k³

Ребро куба увеличили в 2 раза — объём вырос в 2³ = 8 раз. Уменьшили в 3 — стал в 27 раз меньше. Причина в том, что объём перемножает три измерения: рост каждого в 2 раза даёт 2 · 2 · 2 = 8. Это же правило работает для подобных тел любого вида.

Типичные ошибки

• Перепутал конус с цилиндром: при одинаковых основании и высоте конус втрое меньше — забытая дробь 1/3 ломает ответ.
• Умножил объём на k вместо k³: ребро выросло вдвое — объём в 8 раз, а не в 2.
• Возведил в куб не тот размер: если шире стал только радиус, высота в квадрат радиуса не попадает.
• Не привёл единицы к одному виду: литры и кубические сантиметры — это 1 л = 1000 см³.
• Оставил π в ответе там, где просят число: перечитай, в каком виде нужен ответ.

Перед записью ответа сделай прикидку: все размеры увеличили — значит, и объём должен вырасти. Если формула даёт уменьшение, ищи ошибку в подстановке.

Стереометрия в базовом ЕГЭ идёт двумя номерами подряд: 13 — про объёмы, а следующий за ним — про площади поверхностей. После этого разбора логично перейти к разбору задания 14, а формулы закрепить на большой теме стереометрия: объёмы и площади тел.

Если хочется подтянуть и плоскую геометрию, рядом есть шпаргалка про площади фигур — площади оснований постоянно нужны в объёмных задачах. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.