Задание 14 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что это за задание

Задание 14 продолжает стереометрию в базовом ЕГЭ, но спрашивает не про вместимость, а про оболочку тела. Типичные формулировки: сколько квадратных метров жести пойдёт на бак, сколько краски нужно на окраску, чему равна площадь поверхности шара или конуса. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, решение записывать не нужно.

Различие с предыдущим номером легко держать в голове на бытовом примере: сколько воды влезает в аквариум — это объём, сколько стекла ушло на его стенки — это площадь поверхности. Формулы снова есть в справочных материалах, но выбирать их нужно быстро и без ошибок.

Формулы площадей поверхностей

Вот полный набор для этого номера — шесть строк вместо десятков страниц теории.

S куба = 6a²

S параллелепипеда = 2(ab + bc + ac)

S призмы = 2S осн + P осн · h

S цилиндра = 2πr² + 2πrh

S конуса = πr² + πrl

S шара = 4πr²

Логика у всех одна: поверхность — это сумма всех граней. У куба шесть одинаковых квадратов, у параллелепипеда три пары прямоугольников. У цилиндра — два круга-основания плюс развёрнутый в прямоугольник бок: его площадь равна длине окружности 2πr на высоту h.

У конуса боковая поверхность — это πrl, где l — образующая, наклонный отрезок от вершины до края основания. В отличие от цилиндра, у конуса образующая не равна высоте.

Пример 1: бак без крышки

Классика номера: бак или аквариум без крышки — одну грань из полной поверхности нужно убрать.

Пример: бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда 90 × 60 × 50 см. Сколько квадратных метров жести нужно на бак без крышки?

1. Дно: 90 · 60 = 5400 см².
2. Две большие стенки: 2 · 90 · 50 = 9000 см².
3. Две узкие стенки: 2 · 60 · 50 = 6000 см².
4. Итого: 5400 + 9000 + 6000 = 20 400 см² = 2,04 м².
5. Ответ: 2,04.

Здесь две ловушки сразу. Первая — не добавить крышку: в полной поверхности параллелепипеда было бы 2,94 м². Вторая — единицы: в задаче просят квадратные метры, а размеры в сантиметрах, поэтому переводим и делим на 10 000.

Пример 2: конус и шар

Круглые тела тоже часто спрашивают. Пример: радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1. Образующая по теореме Пифагора: l² = r² + h² = 9 + 16 = 25, значит l = 5.
2. Основание: πr² = 9π.
3. Боковая поверхность: πrl = 3 · 5 · π = 15π.
4. Полная поверхность: 9π + 15π = 24π. Ответ: 24π.

Тройка чисел 3, 4, 5 встречается в таких задачах постоянно — узнаёшь её, и образующая находится в уме. Отдельно потренируй шар: формула 4πr² самая простая, поэтому там обычно просят обратное — найти радиус по площади. Пример: S = 36π, значит 4r² = 36, r = 3.

Изменение размеров: квадрат вместо куба

Вторая большая тема номера — как площадь ведёт себя при изменении размеров. Правило: если все размеры увеличить в k раз, площадь поверхности вырастет в k² раз.

размеры ×k → площадь ×k²

Ребро куба увеличили в 3 раза — площадь поверхности выросла в 9 раз. Уменьшили в 2 — стала в 4 раза меньше. Причина та же, что у объёма, только измерений два: каждый квадратик поверхности растёт по обоим сторонам.

Сравни с объёмом из задания 13: там рост кубический, здесь квадратный. Если объём вырос в 27 раз, значит k = 3, а площадь выросла в 3² = 9 раз.

Типичные ошибки

• Посчитал полную поверхность там, где просят без крышки, — или наоборот забыл дно у аквариума.
• Умножил площадь на k вместо k²: радиус вырос вдвое — площадь шара в 4 раза, а не в 2.
• Подставил высоту вместо образующей в боковую поверхность конуса.
• Смешал единицы: сантиметры и квадратные метры, 1 м² = 10 000 см².
• Забыл про два основания цилиндра и посчитал только бок.

Перед ответом сделай прикидку: полная поверхность бака всегда заметно больше площади его дна.

На этом стереометрия базового ЕГЭ закончилась: два номера — про объёмы тел в задании 13 и про площади поверхностей здесь. Формулы обоих номеров собраны в большой теме стереометрия: объёмы и площади тел — там они выведены и закреплены задачами.

Образующая конуса в примере выше нашлась теоремой Пифагора — если эта тема вспоминается с трудом, прочитай простое объяснение теоремы Пифагора. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.