Задание 13 ЕГЭ: тригонометрия и отбор корней

Как устроено задание 13 и где теряются баллы

В задании 13 ЕГЭ по математике профильного уровня можно правильно решить тригонометрическое уравнение и всё равно потерять баллы на последнем шаге — при отборе корней. Разберём понятный алгоритм, который поможет не запутаться в периодах, промежутках и проверке ответа.

В части 2 важно не только назвать корни, но и показать ход решения. Эксперт смотрит, какие преобразования ты выполнил, почему получил именно такие значения и как ограничил бесконечное множество решений. Поэтому начинай с аккуратной записи ОДЗ, если в уравнении есть дроби, корни или тангенс.

Чаще всего в задании встречаются уравнения с sin x, cos x, tg x и их комбинациями. Сначала нужно привести выражение к знакомому виду: вынести общий множитель, применить формулы приведения или заменить sin² x на 1 − cos² x. После этого решай стандартное уравнение, а затем отбирай корни на указанном отрезке.

Короткая практика по базовым преобразованиям доступна в бесплатном личном кабинете «Просто Урок».

Какие формулы нужно уверенно применять

Запомни основные общие решения. Если sin x = a, то сначала найди α = arcsin a, а затем используй два семейства корней. Для cos x = a достаточно записать x = ± arccos a + 2πn. Для тангенса период равен π, поэтому x = arctg a + πn, где n ∈ Z.

Полезно держать рядом таблицу значений:

Уравнение	Общее решение
sin x = 0	x = πn
cos x = 0	x = π/2 + πn
tg x = 0	x = πn
sin x = ½	x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn

При делении на выражение обязательно проверь, не может ли оно быть равно нулю. Например, после деления на cos x нужно отдельно убедиться, что cos x = 0 не даёт решений исходного уравнения. Иначе можно случайно потерять часть ответа.

В личном кабинете «Просто Урок» удобно повторить формулы и сразу проверить себя на коротких упражнениях.

Как отбирать корни на заданном промежутке

После получения общего решения начинается самая ответственная часть. Подставь границы отрезка в формулу и найди допустимые значения n. Не перебирай числа наугад: сначала оцени диапазон, а потом выпиши только те целые n, которые в него попадают.

Рассмотрим общий принцип. Пусть x = α + 2πn, а требуется найти корни на [a; b]. Нужно решить двойное неравенство a ≤ α + 2πn ≤ b. Раздели все части на 2π, учитывая, что знак неравенства не меняется, и выбери целые n.

Пример: решить sin x = ½ на отрезке [0; 2π].
Общие решения: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.
Для первого семейства: 0 ≤ π/6 + 2πn ≤ 2π → n = 0.
Получаем x = π/6.
Для второго семейства: 0 ≤ 5π/6 + 2πn ≤ 2π → n = 0.
Получаем x = 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.

Проверь концы отрезка отдельно, если они входят в область решения. Записывай корни в порядке возрастания: так легче заметить пропуск или повтор.

Полный разбор уравнения с преобразованием

В реальном задании выражение может выглядеть сложнее стандартного. Твоя задача — не раскрывать всё подряд, а искать знакомую структуру. Например, формула sin² x + cos² x = 1 позволяет заменить одну функцию другой. После преобразования обязательно возвращайся к исходному уравнению и проверяй найденные значения.

Решим уравнение 2cos² x − 3cos x + 1 = 0 на [0; 2π].
Обозначим t = cos x. Тогда 2t² − 3t + 1 = 0.
\( (2t - 1)(t - 1) = 0. \)
t = ½ или t = 1.
1) cos x = ½ → x = π/3 + 2πn или x = 5π/3 + 2πn.
На [0; 2π]: x = π/3 и x = 5π/3.
\( 2) \cos x = 1 \to x = 2\pi n. \)
На [0; 2π]: x = 0 и x = 2π.
Ответ: 0; π/3; 5π/3; 2π.

Замена t допустима, потому что t = cos x принимает значения от −1 до 1. Если квадратное уравнение даст t = 2, такой корень нужно отбросить ещё до решения тригонометрического уравнения.

Какие ошибки чаще всего портят решение

Первая ошибка — неверный период. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса и котангенса — π. Если написать 2πn вместо πn для тангенса, часть корней исчезнет.

Вторая ошибка — потеря решений при делении. Уравнение sin x · cos x = 0 нельзя делить на sin x или cos x без отдельной проверки. Правильнее применить правило произведения: sin x = 0 или cos x = 0.

Третья проблема — путаница с градусами и радианами. В заданиях ЕГЭ обычно используются радианы, поэтому π/3, ¾π и 2⅓π нужно воспринимать как углы, а не как обычные дроби.

Четвёртая ошибка — ответ без границ. Даже идеальное общее решение не заменяет отбор n. В конце перечитай условие и убедись, что каждый записанный корень принадлежит требуемому отрезку.

Что запомнить перед экзаменом

Алгоритм задания 13 можно свести к шести шагам: выпиши ОДЗ, упрости уравнение, приведи его к стандартному виду, запиши общее решение, отберись корни по промежутку, проверь ответ подстановкой. Не смешивай эти этапы: отдельная запись каждого шага делает решение прозрачным и снижает риск арифметической ошибки.

Держи в памяти три опоры: период sin и cos равен 2π, период tg равен π, а значения синуса и косинуса лежат в пределах от −1 до 1. При работе с квадратным уравнением сначала фильтруй значения t, а затем возвращайся к тригонометрии.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После каждого решения сравнивай не только ответ, но и способ отбора корней: именно здесь чаще всего скрывается потерянный балл.