Задание 15 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 15 — вторая задача с развёрнутым ответом в профильном ЕГЭ. Здесь, как и в заданиях 13 и 14, решение записывается полностью: эксперт проверяет преобразования, учёт области допустимых значений и обоснованный переход от одного неравенства к другому. Чаще всего встречаются логарифмические и показательные неравенства, иногда — с дробями или корнями.

Инструментарий тоже предсказуем: свойства логарифмов и степеней, разложение на множители, замена переменной и метод интервалов. Если подзабыл теорию, повтори логарифмы простыми словами и разбор квадратных неравенств методом интервалов — без этих двух тем в задании 15 делать нечего.

Шаг 1. ОДЗ и упрощение

Первое действие всегда одно: выписать область допустимых значений. У логарифма аргумент строго больше нуля, у основания — ещё и не равно единице; в дроби знаменатель не ноль; под корнем чётной степени — неотрицательное выражение. ОДЗ, выписанное до преобразований, спасает от главной ловушки задания.

log_a f(x) существует ⇔ f(x) > 0, a > 0, a ≠ 1

Дальше упрощаем. Логарифмы складываем и выносим по свойствам, степени приводим к одному основанию, дроби — к общему знаменателю. Правило знака зависит от основания: при основании больше единицы знак неравенства сохраняется, при основании от нуля до единицы — переворачивается. Это самая перепроверяемая строчка всего решения.

a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g;   0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g

Шаг 2. Замена переменной

Когда в неравенстве видна одна и та же функция в разных степенях или логарифмах, вводи замену. Разберём типовой пример:

\( \log ^2_2 x - 3 \cdot log_2 x + 2 \le 0 \)

1. ОДЗ: x > 0. Записали — дальше работаем только внутри него.
2. Замена t = log₂ x. Получаем квадратное неравенство t² − 3t + 2 ≤ 0.
3. Раскладываем на множители: (t − 1)(t − 2) ≤ 0, значит 1 ≤ t ≤ 2.
4. Возвращаемся к x: 1 ≤ log₂ x ≤ 2, то есть log₂ 2 ≤ log₂ x ≤ log₂ 4.
5. Основание 2 > 1, знак сохраняется: 2 ≤ x ≤ 4. Пересечение с ОДЗ даёт тот же отрезок.

Ответ: [2; 4]. Замена превратила «страшное» неравенство в квадратное, которое решается за минуту. Так работают и показательные неравенства с заменой t = aˣ — идея одна и та же, меняется только функция.

Шаг 3. Метод интервалов и ответ

Когда всё приведено к виду «дробь или произведение сравнивается с нулём», наступает очередь метода интервалов: нули числителя и знаменателя наносим на ось, расставляем знаки, выбираем нужные промежутки. Нули знаменателя всегда выколоты — даже если знак неравенства нестрогий.

(x − a)(x − b) > 0 ⇔ x < a или x > b, где a < b

Финальный шаг — пересечь промежутки с ОДЗ и записать ответ в виде промежутков. Круглая скобка — строгий знак, квадратная — нестрогий. Ответ записывай именно в той форме, как требовалось: множество, отрезок или наименьшее/наибольшее решение — последнее часто просят отдельно.

Типичные ошибки и оформление

Задание оценивается по критериям — за преобразования, за учёт ОДЗ и за верный ответ с обоснованными переходами. Точную раскладку сверяй с демоверсией ФИПИ. Вот где теряют баллы чаще всего:

1. ОДЗ выписано, но не использовано: в ответ попадают точки, где выражение не существует.
2. Знак неравенства не перевернут при основании меньше единицы — классика показательных неравенств.
3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов «без условий» — а свойства применяются только к существующим логарифмам.
4. Нули знаменателя включены в ответ при нестрогом неравенстве.
5. Переход между неравенствами не обоснован: эксперт видит «потому что так», а не ссылку на свойство.

Оформляй решение столбиками: ОДЗ, преобразования, замена, интервалы, обратная замена, пересечение с ОДЗ, ответ. Такая структура читается легко и защищает тебя: даже если где-то описка, логика решения остаётся видна.

Неравенства — самая «формульная» часть второй части, но и самая алгоритмичная: ОДЗ, упрощение, замена, интервалы — и так каждое задание. Подтяни базу про числовые неравенства и промежутки, а потом двигайся дальше: экономическая задача в задании 16 и подготовка к ЕГЭ с нуля за год. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.