Задание 14 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 14 — задача по стереометрии из второй части профильного ЕГЭ. Нужен развёрнутый ответ: чертёж, обоснования и вычисления записываются на бланке и проверяются экспертом. Типовые конфигурации — куб, параллелепипед, правильная пирамида и призма. Обычно нужно найти расстояние — от точки до плоскости или между прямыми — и угол: между прямыми, прямой и плоскостью или плоскостями.

Хорошая новость: набор фигур и приёмов ограничен, а вычисления почти всегда сводятся к теореме Пифагора и определениям синуса и косинуса. Если база «плавает», начни с неё: разбор треугольников и справочник про объёмы и площади тел.

Шаг 1. Чертёж и обоснования

Стереометрия выигрывается на этапе построения. Рисуй крупно и по линейке, подписывай вершины буквами, выделяй нужные отрезки и плоскости. Затем выписывай свойства: «правильная пирамида» — основание правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр; «прямая призма» — боковые рёбра перпендикулярны основанию. Каждое использованное свойство — обоснование, за которое ставят балл.

Шаг 2. Находим расстояние

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра из этой точки к плоскости. Если перпендикуляр рисовать неудобно, точку заменяют: расстояния от всех точек прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости равны.

расстояние от точки до плоскости = длина перпендикуляра

Когда перпендикуляр «не виден», включай метод объёмов: выражай объём одной и той же пирамиды двумя способами — через удобное основание и через искомое. Высота h к «неудобному» основанию и есть расстояние:

\( h = 3\dfrac{V}{S} \)

Классика: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 найди расстояние от точки D до плоскости AB₁C.

1. Берём пирамиду DAB₁C. За основание удобно взять треугольник DAC из нижней грани: его площадь 18, высота равна ребру куба 6. Объём: V = 1/3 · 18 · 6 = 36.
2. Считаем площадь AB₁C. Его стороны — диагонали граней, каждая 6√2. Треугольник равносторонний: S = (√3/4) · (6√2)² = 18√3.
3. Выражаем высоту к основанию AB₁C: h = 3V / S = 108 / (18√3) = 2√3 ≈ 3,5.

Ответ: 2√3. Нигде не пришлось рисовать сам перпендикуляр — объёмы сделали работу за нас. Так же ищут расстояние между скрещивающимися прямыми — через плоскость, проведённую через одну из них параллельно другой.

Шаг 3. Находим угол

Углов здесь три вида, и у каждого своё определение — начинай с фразы «по определению». Угол между прямыми, в том числе скрещивающимися, находят параллельным переносом: сдвигаем прямые так, чтобы они пересеклись, и берём угол между ними.

0° < φ ≤ 90°

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией. Быстрый способ: возьми точку M на прямой, найди её расстояние h до плоскости и расстояние d до точки, где прямая пересекает плоскость. В прямоугольном треугольнике:

\( \sin \alpha = \dfrac{h}{d} \)

Угол между плоскостями — линейный угол двугранного угла: на линии пересечения выбери точку и проведи в каждой плоскости перпендикуляр к этой линии. Нужные перпендикуляры часто даёт теорема о трёх перпендикулярах:

наклонная ⊥ прямой в плоскости ⇔ её проекция ⊥ этой прямой

В правильных фигурах используй симметрию: апофемы равны, углы при основании равны, высота падает в центр. Вычисления сводятся к одному-двум прямоугольным треугольникам — то есть к теореме Пифагора.

Как оформить и за что снимают баллы

Оценивается по критериям: за построение и обоснование, за ход решения и за верный ответ — раскладку сверяй с демоверсией ФИПИ. Чаще всего баллы теряют так:

1. Перпендикуляр или угол отмечен на чертеже, но не обоснован — почему он именно такой, не сказано.
2. Использовано свойство, которого нет в условии: «квадрат» там, где дан лишь прямоугольник.
3. Перепутан синус и косинус: угол между прямой и плоскостью ищется через проекцию.
4. Ответ оставлен неупрощённым: 6/√3 вместо 2√3.
5. Вычислительная ошибка на последнем шаге — финальную арифметику проверяй отдельно.

Стереометрия — навык: после пяти-десяти полных решений страх перед чертежом исчезает. Повтори базу про объёмы и площади тел и теорему Пифагора, дальше двигайся по второй части: неравенство в задании 15 и экономическая задача в задании 16. Если начинаешь почти с нуля, пригодится план подготовки к ЕГЭ по математике. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.