Задание 19 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что это за задание

Девятнадцатое задание проверяет владение натуральными и целыми числами: умеешь ли ты делить нацело, находить делители и кратные, раскладывать число на множители и сравнивать числа между собой. Формулировки короткие, но требуют точности.

Ответ — целое число. Это приятная подсказка: если при делении у тебя «не сходится нацело» или получается дробь там, где ожидается число предметов, — ищи ошибку в рассуждении.

Весь навык ставится на четырёх опорах: признаки делимости, делители и кратные, НОД и НОК, сравнение чисел. Разберём каждую по порядку.

Признаки делимости

Признак делимости — короткое правило, которое без деления в столбик говорит, делится ли число нацело. Пять главных:

1. на 2 — последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8);
2. на 3 — сумма цифр делится на 3;
3. на 5 — последняя цифра 0 или 5;
4. на 9 — сумма цифр делится на 9;
5. на 10 — последняя цифра 0.

делимость на 3: сумма цифр ⋮ 3

Пример: 324 делится на 3, потому что 3 + 2 + 4 = 9, а 9 делится на 3. Делится ли 324 на 9? Сумма цифр 9 — да, 324 / 9 = 36. Один приём решает сразу две проверки.

Помни связку: если число делится на 9, оно обязательно делится и на 3, но обратное неверно — 12 делится на 3, но не делится на 9.

Делители, кратные и простые числа

Делитель числа a — это число, на которое a делится нацело. Кратное числа a — это число, которое само делится на a. Делителей у числа конечное число, а кратных — бесконечно много.

Простое число имеет ровно два делителя: единицу и само себя (2, 3, 5, 7, 11, …). Составное — больше двух. Любое составное число раскладывается на произведение простых множителей, и это разложение единственно.

Пример разложения на простые множители:

\( 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)

Разложение на множители — универсальный инструмент: с его помощью находят и НОД, и НОК, и количество делителей.

НОД и НОК

НОД — наибольший общий делитель двух чисел, НОК — наименьшее общее кратное. Оба находятся через разложение на простые множители.

Для НОД берём общие множители с наименьшими показателями, для НОК — все множители с наибольшими показателями.

НОД(36, 48) = 2² · 3 = 12

НОК(36, 48) = 2⁴ · 3² = 144

Полезная связь: произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел. Проверка: 36 · 48 = 1728, и 12 · 144 = 1728. Совпало — значит, НОД и НОК найдены верно.

Сравнение чисел

Вторая половина задания — сравнение. Числа приводят к одной форме и смотрят, какое больше. С дробями сравнивают либо через общий знаменатель, либо через десятичную запись.

ab > cd ⇔ a·d > c·b (при положительных знаменателях)

Со степенями сначала считают значение: 2⁶ = 64, 3⁴ = 81, значит 3⁴ больше. С десятичными дробями сравнивают поразрядно: сначала целые части, потом десятые, сотые.

Универсальный приём — «мост»: приведи всё к десятичной записи и расположи числа на одной прямой. Что дальше вправо, то и больше.

Разбор примера по шагам

Задача: среди чисел 24, 45, 63, 70 выбери то, которое делится на 9.

1. Проверяем каждое число суммой цифр.
2. 24: 2 + 4 = 6 — на 9 не делится.
3. 45: 4 + 5 = 9 — делится на 9.
4. 63: 6 + 3 = 9 — тоже делится.
5. Внимательно читаем условие: если нужно ровно одно число, уточняем дополнительный признак. 70 не делится даже на 3.

Вывод: признак делимости на 9 работает через сумму цифр мгновенно. Главное — не торопиться и проверить каждое число из списка, а не останавливаться на первом подходящем.

Типичные ошибки

На задании 19 ответы теряют из-за невнимательности к условию. Вот что перечитать перед экзаменом:

1. путать «делится на» и «делит»: 6 делится на 3, но 3 — это делитель 6;
2. забывать про 0 как делитель-ловушку: 0 делится на любое число, а на 0 делить нельзя;
3. считать, что признак делимости на 9 следует из делимости на 3 — это так только в одну сторону;
4. сравнивать дроби, не приводя к общему знаменателю или десятичной записи;
5. при разложении на множители остановиться на составном множителе: 60 = 2 · 30 — неверное разложение до конца.

Делимость — сквозная тема: она же понадобится при работе с дробями (дроби) и при сравнении чисел в неравенствах (числовые неравенства). Освежить степени поможет статья про степени с целым показателем. А следующее задание, где нужно читать таблицы и графики, разобрано в статье про задание 20. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.