Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 17 — геометрическая задача второй части профильного ЕГЭ. Как и в других номерах второй части, нужен развёрнутый ответ: чертёж, полная цепочка рассуждений и вычисления, которые проверяет эксперт. Стандартная формулировка состоит из двух пунктов: в пункте «а» требуется доказать утверждение из условия, в пункте «б» — вычислить какую-то величину.

Внутри номера встречаются треугольники, параллелограммы, трапеции, окружности и их комбинации. Хороший чертёж здесь — не украшение, а инструмент: правильная картинка сама подсказывает дополнительные построения. Если школьная геометрия подзабылась, подтяни базу: разбор треугольников и свойства окружности и касательных.

Шаг 1. Доказательство

Разберём типовую схему. Пункт «а»: в треугольнике ABC со сторонами AB = 9, BC = 6 и AC = 10 биссектриса BL пересекает сторону AC в точке L. Докажите, что AL / LC = AB / BC.

Доказывать удобно методом площадей. Опусти из точки L перпендикуляры LH₁ и LH₂ на стороны AB и BC. Точка L лежит на биссектрисе угла B, а каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла:

\( LH_1 = LH_2 \)

Запиши площади треугольников ABL и CBL через эти высоты:

\( S(ABL) = AB \cdot L\dfrac{H_1}{2}, S(CBL) = BC \cdot L\dfrac{H_2}{2} \)

Так как LH₁ = LH₂, площади относятся как стороны AB и BC. С другой стороны, у этих же треугольников общая высота из вершины B к прямой AC, поэтому их площади относятся и как основания:

\( A\dfrac{L}{L}C = S\dfrac{ABL}{S}(CBL) = A\dfrac{B}{B}C \)

1. Первая цепочка связала отношение площадей со сторонами AB и BC.
2. Вторая — с отрезками AL и LC.
3. Оба выражения задают одно и то же отношение площадей, значит, они равны.
4. AL / LC = AB / BC, что и требовалось доказать.

Фраза «что и требовалось доказать» — не формальность, а маркер завершения пункта «а»: эксперт должен увидеть, где доказательство закончилось.

Шаг 2. Вычисление

Пункт «б»: найдите AL и LC. Используем доказанное соотношение:

\( A\dfrac{L}{L}C = A\dfrac{B}{B}C = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \)

1. Пусть AL = 3t, LC = 2t, где t — одна часть.
2. Весь отрезок AC = AL + LC = 5t, а по условию AC = 10.
3. Тогда 5t = 10, значит t = 2.
4. AL = 6, LC = 4.

Ответ пункта «б»: AL = 6, LC = 4. Обрати внимание: вычисление опирается на доказанное в пункте «а» — именно так связаны оба пункта. А вот использовать факт без доказательства, которого нет ни в условии, ни в школьном курсе, нельзя.

Ключевые теоремы и приёмы

Большинство задач 17 собирается из небольшого набора фактов: подобие треугольников, теоремы синусов и косинусов, свойства биссектрисы и медианы, средняя линия, вписанный и центральный углы, касательная и радиус к точке касания, формулы площадей. Шпаргалку по последнему пункту смотри в статье про площади фигур.

Главный приём — дополнительные построения: высота в неудобном месте, продолжение медианы до параллелограмма, радиус к касательной. Если путь не виден, проведи «лишнее» — часто именно оно превращает непонятную картинку в знакомую конфигурацию.

Как оформить и за что снимают баллы

Пункт «а» и пункт «б» оцениваются по критериям отдельно. Чаще всего баллы теряют вот так:

1. Доказательство ведётся ссылкой на чертёж, без обоснования переходов.
2. В пункте «б» используется недоказанный факт, которого нет в условии.
3. Вычисления записаны без промежуточных шагов, ответ появляется «из ниоткуда».
4. Чертёж отсутствует или противоречит условию задачи.
5. Доказательство не завершено выводом — непонятно, что именно доказано.

Планиметрия — навык, который растёт от задачи к задаче: десять полных решений с чертежами дают больше, чем тридцать прочитанных разборов. Дальше по второй части: задача с параметром в задании 18 и числа и их свойства в задании 19. А если хочешь грамотно распределить силы по всем номерам, поможет план подготовки к ЕГЭ по математике. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.