Задание 20 ОГЭ по математике: как решать

Что такое задание 20 и почему оно важно

Отличие от первой части принципиальное: работу проверяет человек, и баллы начисляются за логическую цепочку, а не только за итоговое число. Обычно предлагают решить уравнение или неравенство — линейное, квадратное или дробно-рациональное. Сколько баллов даёт задание и по каким критериям, сверь с актуальной демоверсией ФИПИ. Хорошая новость: это алгебра, которую ты уже знаешь, — здесь нужны не хитрые приёмы, а аккуратность и правильное оформление.

Как оформить развёрнутое решение

Проверяющий должен видеть ход мысли. Правила простые:

• каждый шаг — на новой строке, с пояснением, что ты делаешь;
• преобразования идут последовательно, без «прыжков»;
• в дробно-рациональных уравнениях указывай ОДЗ или проверяй корни;
• в неравенствах показывай, как нашёл промежуток, и правильно ставь скобки;
• в конце — строка «Ответ: …».

Короткие пояснения вроде «раскрою скобки», «перенесу слагаемые, поменяв знаки», «найду дискриминант» занимают секунды, а проверяющему показывают, что ты управляешь решением, а не угадываешь.

Линейное уравнение

Пример: 3(x − 2) = 5x + 4.

1. Раскрываем скобки: 3x − 6 = 5x + 4.
2. Переносим слагаемые с x влево, числа вправо, меняя знаки: 3x − 5x = 4 + 6.
3. Приводим подобные: −2x = 10.
4. Делим обе части на −2: x = −5.

Проверка подстановкой: 3(−5 − 2) = −21 и 5·(−5) + 4 = −21 — обе части равны. Ответ: −5.

\( ax + b = 0 \to x = -\dfrac{b}{a} \)

Квадратное уравнение

Пример: x² − 7x + 10 = 0.

1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = −7, c = 10.
2. Дискриминант: D = b² − 4ac = 49 − 40 = 9.
3. Корни: x = (7 ± 3) / 2, значит x₁ = 2, x₂ = 5.
4. Проверка по Виету: 2 + 5 = 7 и 2 · 5 = 10 — сходится.

Ответ: 2; 5. Если коэффициенты удобные, корни порой видны сразу, но на экзамене лучше показать дискриминант — это готовое обоснование решения.

\( D = b^2 - 4ac, x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

Дробно-рациональное уравнение

Пример: 2/(x − 3) = 6/(x + 1).

1. ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит x ≠ 3 и x ≠ −1.
2. Перекрёстное умножение: 2(x + 1) = 6(x − 3).
3. Раскрываем скобки: 2x + 2 = 6x − 18.
4. Переносим: 2x − 6x = −18 − 2, отсюда −4x = −20, значит x = 5.
5. Сверяем с ОДЗ: 5 ≠ 3 и 5 ≠ −1, корень подходит.

Проверка подстановкой: 2/(5 − 3) = 1 и 6/(5 + 1) = 1. Ответ: 5. Главное отличие дробно-рациональных уравнений — посторонние корни: значения, при которых знаменатель обращается в ноль, отсеиваются обязательно.

Неравенства: линейное и квадратное

Линейное. Пример: 5 − 2x ≥ 13.

1. Переносим число вправо: −2x ≥ 13 − 5, то есть −2x ≥ 8.
2. Делим обе части на −2 и меняем знак неравенства: x ≤ −4.
3. Ответ: (−∞; −4].

Квадратное. Пример: x² − 2x − 3 < 0.

1. Раскладываем на множители: (x − 3)(x + 1) < 0.
2. Парабола ветвями вверх пересекает ось в точках −1 и 3, минус — между корнями.
3. Ответ: (−1; 3). Скобки круглые — неравенство строгое.

Две главные ловушки неравенств: деление на отрицательное число меняет знак, а строгий и нестрогий знаки решают, включается ли граница промежутка.

Типичные ошибки

• Решение в одну строку без пояснений — проверяющий не видит обоснования.
• Пропущенная ОДЗ в дробно-рациональном уравнении.
• Потерянный знак при переносе слагаемого.
• Забытая смена знака неравенства при делении на отрицательное число.
• Неполный ответ: у квадратного уравнения два корня, у неравенства — промежуток.
• Арифметическая ошибка, которую не поймала проверка подстановкой.

Если линейные уравнения даются с трудом, повтори их отдельно — алгоритм с примерами. Для квадратных неравенств пригодится метод интервалов, а про запись промежутков подробно рассказано в статье о числовых неравенствах.

Уравнения и неравенства — язык всей математики, и задание 20 — первый шаг к уверенной второй части. Веди запись аккуратно, проверяй корни — и баллы будут твоими. А если нужна помощь, рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.