Задание 2 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 2

Задание 2 относится к части 1 профильного ЕГЭ: ответ краткий, целое число или конечная десятичная дробь. Тема — векторы и координаты. Типовые вопросы: найти длину вектора, его скалярное произведение с другим вектором, угол между векторами, сумму или разность.

Проверяют здесь не хитрую технику, а владение координатами: умеешь ли ты аккуратно обращаться со знаками и достаёшь ли три базовые формулы из памяти за секунды. Развёрнутого решения писать не нужно — только ответ.

Один нюанс: набор сюжетов от года к году может меняться, поэтому перед тренировками сверь типизацию и формат ответа с актуальной демоверсией ФИПИ.

Вектор и его координаты

Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец и длина. Вектор задаётся не положением на плоскости, а двумя числами — перемещением по горизонтали и по вертикали. Это и есть его координаты.

вектор AB = (x_B − x_A; y_B − y_A)

Чтобы найти координаты, из координат конца вычитаем координаты начала — именно в этом порядке. Если вектор нарисован на клетчатой сетке, координаты считай по клеткам: сколько клеток вправо — первый компонент, сколько вверх — второй. Вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус.

Полезный факт: равные векторы — это векторы с одинаковыми координатами, у них одинаковые длина и направление. Поэтому на чертеже вектор можно переносить куда угодно — важны лишь его перемещения по осям.

Длина вектора и расстояние между точками

Длина вектора — это, по сути, теорема Пифагора: перемещения по осям образуют катеты прямоугольного треугольника, а сам вектор — его гипотенузу.

\( |a| = \sqrt{x^2 + y^2} \)

Пример: вектор a(3; 4) имеет длину √(9 + 16) = √25 = 5. Выучи пифагоровы тройки — они экономят время: (3; 4) даёт 5, (6; 8) даёт 10, (5; 12) даёт 13. Если под корнем получается некрасивое число, проверь знаки: минус при возведении в квадрат всё равно исчезает, и ошибка почти всегда в самих координатах.

Та же формула работает как расстояние между точками: найди вектор между ними и возьми его длину.

Скалярное произведение и угол

Скалярное произведение — число, которое связывает два вектора с углом между ними. Через координаты оно считается в одно действие.

\( a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 \)

\( a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \alpha \)

Если нужно найти угол, приравняй обе записи и вырази косинус: cos α = (a · b) / (|a| · |b|). Понадобится таблица значений косинуса — повтори базовые формулы тригонометрии.

Самое важное следствие: если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. А знак подсказывает угол ещё до вычислений: плюс — угол острый, минус — тупой, ноль — прямой.

Пример решения по шагам

Условие (учебный пример): даны векторы a(3; 4) и b(−4; 3). Найди скалярное произведение.

1. Выпиши координаты: a = (3; 4), b = (−4; 3).
2. Примени формулу: a · b = x₁x₂ + y₁y₂ = 3 · (−4) + 4 · 3.
3. Посчитай: −12 + 12 = 0.
4. Ответ: 0. Произведение равно нулю — значит, векторы перпендикулярны.

Заметь: главная работа здесь — аккуратность со знаками. Одна потерянная скобка вокруг −4 — и вместо нуля получится другое число. Если сомневаешься, сделай прикидку: изобрази векторы на сетке и посмотри, похож ли угол между ними на прямой. Прикидка и формула должны говорить одно и то же.

Сумма и разность векторов

По координатам всё складывается и вычитается покомпонентно — отдельно по каждой оси.

\( a + b = (x_1 + x_2; y_1 + y_2), a - b = (x_1 - x_2; y_1 - y_2) \)

Геометрически сумма строится по правилу треугольника: конец первого вектора совмещаем с началом второго, итог — вектор от первого начала ко второму концу. Правило параллелограмма даёт тот же результат: отложи оба вектора от одной точки и проведи диагональ.

Если в задаче просят длину суммы, действуй в два шага: сначала сложи координаты, затем возьми корень из суммы квадратов. На клетчатой бумаге удобно достроить сумму до прямоугольника и посчитать катеты по клеткам.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутать конец и начало: координаты — это конец минус начало, а не наоборот.
• Забыть корень при длине: |a| = √(x² + y²), а не x² + y².
• Складывать длины векторов вместо координат — длина суммы так не считается.
• В скалярном произведении перемножить модули и забыть про cos α.
• На сетке принять диагональ клетки за 1: если единица — сторона клетки, диагональ имеет длину √2.

И формат ответа: пиши только число, без единиц измерения, если в условии не сказано иное. Точный формат ещё раз сверь с демоверсией ФИПИ.

Векторы — тема из первой части, но она же — мост к физике и координатному методу в стереометрии. Чтобы освежить базу, загляни в разборы про векторы и проекции в задачах.

Дальше по номерам: вспомни задание 1 про площади и углы и переходи к заданию 3 про объёмы и сечения тел. А если хочешь, чтобы подготовка шла по плану, открой тренажёр ЕГЭ на Просто Уроке — там любую тему объяснят спокойно и по шагам.