Задание 4 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 4

Это первая стереометрическая задача на расстояния и углы. Формулировки короткие, фигуры — куб, параллелепипед, правильная призма или пирамида.

Нужно уметь находить расстояния от точки до прямой и до плоскости и углы: между прямыми (в том числе скрещивающимися), между прямой и плоскостью, двугранные. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, калькулятор запрещён.

Главная мысль: любая стереометрическая задача сводится к планиметрии — ищи плоскость с нужным треугольником и решай её. Понадобятся теорема Пифагора, синус и косинус и формулы объёмов.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра из точки на прямую. Где именно он, подсказывает теорема о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная ей перпендикулярна.

1. Пример: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 найдите расстояние от точки A до прямой BC₁.
2. Прямая BC₁ лежит в грани BCC₁B₁, её проекция на основание — прямая BC. Так как AB ⊥ BC, по теореме о трёх перпендикулярах AB ⊥ BC₁.
3. Значит, основание перпендикуляра из точки A — точка B, и расстояние равно AB = 4.
4. Ответ: 4.

Считать ничего не пришлось — весь смысл в правильном построении. В кубе перпендикуляр часто «прячется» в готовом ребре или диагонали грани.

Расстояние до плоскости: метод объёмов

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра из точки на плоскость. Если строить его неудобно, используй метод объёмов: искомое расстояние — это высота пирамиды.

\( h = 3\dfrac{V}{S} \)

1. Пример: в правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, высота 4. Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC.
2. Считаем объём пирамиды: V = (1/3) · 6² · 4 = 48.
3. Апофема: √(4² + 3²) = 5, площадь SBC = (1/2) · 6 · 5 = 15.
4. Расстояние: h = 3 · 48 / 15 = 9,6.
5. Ответ: 9,6.

Объём пирамиды можно записать двумя способами: через известную высоту и через искомую. Приравняв, получаем ответ без построения перпендикуляра.

Углы в пространстве

Углов три вида: между скрещивающимися прямыми (берём параллельные им пересекающиеся), между прямой и плоскостью (берём проекцию прямой) и двугранный — линейный угол при общем ребре.

1. Пример: в кубе найдите угол между прямыми BD и BA₁. Ответ дайте в градусах.
2. Обе прямые проходят через точку B — рассматриваем треугольник DBA₁.
3. DB — диагональ основания, BA₁ и DA₁ — диагонали граней: каждая сторона равна a√2.
4. Треугольник равносторонний, все углы по 60°.
5. Ответ: 60.

Приём один: свести угол к углу треугольника и найти его через равнобедренность, косинусы или прямоугольный треугольник. Для угла между прямой и плоскостью сначала считай проекцию.

Выносной чертёж и проверка ответа

Главный практический навык — выносной чертёж. Нашёл нужный треугольник — нарисуй его отдельно, большим, с прямыми углами и подписанными сторонами. Тогда теорема Пифагора и подобие применяются без ошибок.

Полезны и проверки: расстояние не больше любого наклонного, угол не превышает 90°, а ответ первой части — целое число или конечная десятичная дробь. Бесконечный корень или арктангенс — где-то ошибка.

Задание 4 — продолжение стереометрии из задания 3: там объёмы и площади, здесь расстояния и углы. Повторить формулы поможет статья про объёмы и площади тел, а диагонали опираются на теорему Пифагора.

Треугольники, через которые всё решается, собраны в материале про треугольники на ОГЭ и ЕГЭ. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.