Просто УрокЗадание 5 ЕГЭ по математике (профиль): как решать
Задание 5 в профильном ЕГЭ — теория вероятностей. Длинных выкладок здесь не бывает: нужен аккуратный подсчёт исходов и два правила — сложение и умножение. Разбираем базовую формулу, противоположные события, схему «хотя бы один» и ловушки, на которых теряют лёгкий балл.
Что проверяет задание 5
Это задача на начала теории вероятностей. Условие бытовое: билеты, монеты, кубики, стрелки, покупатели. Требуется найти вероятность события — иногда напрямую, иногда через противоположное или через комбинацию событий.
Всё задание держится на трёх навыках: посчитать исходы, отличить независимые события от зависимых и прочитать вопрос до конца. Ответ — конечная десятичная дробь, калькулятор не нужен: числа подобраны удобные.
Классическое определение вероятности
Вероятность — это доля благоприятных исходов среди всех равновозможных. Считаем, сколько всего исходов, сколько из них нам подходят, и делим.
\( P = \dfrac{m}{n} \)
где m — число благоприятных исходов, n — число всех исходов.
- Пример: в классе 12 девушек и 8 юношей. Наугад выбирают одного дежурного. Найдите вероятность, что это юноша.
- Всего исходов: 12 + 8 = 20.
- Благоприятных: 8.
- P = 8 / 20 = 0,4.
- Ответ: 0,4.
Прикидка: юношей меньше половины, значит и вероятность меньше 0,5. Получилось 0,4 — правдоподобно.
Противоположные события
Противоположное событие — «событие не произошло». Их вероятности в сумме дают единицу, поэтому часто считать «не A» проще, чем A.
P(не A) = 1 − P(A)
- Пример: вероятность того, что лампочка перегорит за год, равна 0,07. Какова вероятность, что она не перегорит?
- P(не перегорит) = 1 − 0,07 = 0,93.
- Ответ: 0,93.
Приём тривиальный, но решает формулировки «хотя бы один», «не все», «ни одного»: прямой подсчёт мучительный, здесь — три действия.
Сложение и умножение вероятностей
Два правила. Складываем вероятности несовместных событий — тех, что не могут произойти одновременно.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Умножаем вероятности независимых событий — тех, где исход одного не влияет на другой.
P(A и B) = P(A) · P(B)
- Пример на сложение: вероятность, что покупатель купит молоко, равна 0,3, а хлеб — 0,2, одновременно он не покупает. Вероятность купить молоко или хлеб: 0,3 + 0,2 = 0,5.
- Пример на умножение: монету бросают дважды. Вероятность двух орлов подряд: 0,5 · 0,5 = 0,25.
- Ответы: 0,5 и 0,25.
Ошибка номер один — перепутать правила. Могут ли оба события случиться в одном испытании? Нет — складывай. Происходят последовательно и не мешают — умножай.
Вероятность всегда между 0 и 1. Получилось отрицательное число или больше единицы — не округляй, а ищи ошибку: чаще всего перепутаны сложение и умножение.
Потренируй задание 5 на реальных примерах
В тренажёре ЕГЭ выбери теорию вероятностей, получи короткую теорию и серии задач с разбором. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Схема «хотя бы один»
Формулировка «хотя бы одно попадание», «хотя бы одна лампочка исправна» почти всегда решается через противоположное событие. «Хотя бы один» противоположно «ни одного».
P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного)
- Пример: биатлонист попадает по мишени с вероятностью 0,8 при каждом выстреле. Он делает два выстрела. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.
- Вероятность промаха: 1 − 0,8 = 0,2.
- Два промаха подряд — независимые события: 0,2 · 0,2 = 0,04.
- Хотя бы одно попадание: 1 − 0,04 = 0,96.
- Ответ: 0,96.
Три действия вместо перебора комбинаций. «Ровно один» — другая задача: там два исключающих сценария складываются. Поэтому читай вопрос дважды, прежде чем выбирать схему.
«Хотя бы один», «ровно один» и «ни одного» — три разные задачи. Для «хотя бы один» почти всегда выручает противоположное событие: посчитать «ни одного» проще, чем перебирать варианты.
Вероятность — сквозная тема: она есть и в ОГЭ, и в базовом ЕГЭ. Системную базу даёт статья про теорию вероятностей на ОГЭ и ЕГЭ, а логику экзамена — план подготовки к ЕГЭ по математике.
Запомни три опоры: P = m/n, противоположное событие через единицу и правило «несовместные складываем, независимые умножаем». Разборы соседних задания 4 и задания 6 помогут подтянуть весь вариант. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к ЕГЭ — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Что проверяет задание 5 профильного ЕГЭ?
Начала теории вероятностей: классическое определение, противоположные события, сложение вероятностей несовместных событий и умножение независимых, задачи формата «хотя бы один».
В каком виде записывать ответ?
Конечной десятичной дробью — например, 0,4 или 0,96. Вероятность всегда лежит от 0 до 1; значение за этими границами означает ошибку.
Чем отличаются несовместные и независимые события?
Несовместные не могут произойти одновременно — их вероятности складываются. Независимые не влияют друг на друга — их вероятности умножаются. Это разные правила для разных ситуаций.
Как решать задачи с «хотя бы один»?
Через противоположное событие: найди вероятность, что нужное не произошло ни разу, и вычти её из единицы. Для двух попыток это 1 − (1 − p)².