Задание 6 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 6

Это задача на вычисление: дано выражение со степенями, корнями или логарифмами, нужно найти его значение. Условие выглядит внушительно — дробные показатели, огромные числа — но после пары преобразований всё схлопывается в маленькое число.

Задание проверяет знание свойств, а не силу счёта: калькулятор на экзамене запрещён, и это не мешает — числа подобраны так, что ответ получается за два-три действия. Ответ записывается целым числом или конечной десятичной дробью.

Степени: сводим к одному основанию

Главный приём всего задания — привести все числа к одному основанию: 25 = 5², 8 = 2³, 16 = 2⁴. Дальше работают свойства степеней.

\( a^m \cdot aⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn \)

1. Пример: найдите значение выражения 5^2,8 · 5^1,2 / 25^0,5.
2. Умножаем степени с одинаковым основанием: 5^2,8 · 5^1,2 = 5⁴.
3. Разбираем знаменатель: 25^0,5 = (5²)^0,5 = 5.
4. Делим: 625 / 5 = 125.
5. Ответ: 125.

Десятичные показатели пугают только на вид — при умножении складываются. Отдельный случай — отрицательный показатель: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, он переворачивает дробь.

Корни: превращаем в степени

Корень — это степень с дробным показателем: √a = a^1/2, а корень n-й степени — a^1/n. Поэтому правила похожи на степенные.

√a · √b = √(ab), ab под корнем = √a / √b

1. Пример: найдите значение выражения √45 · √20.
2. Объединяем под один корень: √(45 · 20) = √900.
3. Считаем: √900 = 30.
4. Ответ: 30.

Если под корнем большие числа, раскладывай их на множители и выноси квадраты: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Это быстрее, чем умножение в столбик.

Логарифмы: определение и свойства

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить число под логарифмом?

\( \log _a b = c \Leftrightarrow a^c = b \)

Из определения следуют два рабочих свойства: логарифм произведения — сумма логарифмов, логарифм степени выносит показатель вперёд.

\( \log _a (bc) = \log _a b + \log _a c, \log _a bⁿ = n \cdot \log _a b \)

1. Пример: найдите значение выражения log₅ 250 − log₅ 2.
2. Разность логарифмов сворачиваем в логарифм частного: log₅ (250 / 2) = log₅ 125.
3. По определению: 125 = 5³, значит log₅ 125 = 3.
4. Ответ: 3.

Проверка обратным действием: 5³ = 125 — сходится. Прогоняй ответ через определение логарифма — это бесплатная страховка балла.

Порядок работы и проверка

Порядок простой: приведи все числа к одному основанию, запиши корни как степени, примени свойства. Десятичные показатели переводи в удобный вид: 0,5 — половина, 2,8 = 2 + 0,8. В конце прикидка: результат должен быть «разумным», без бесконечных хвостов.

Типичные ошибки две: путаница a^m+n и a^mn (при умножении показатели складываются, при возведении в степень — умножаются) и счёт «в лоб» огромных чисел вместо разложения на простые множители. Обе лечатся проговариванием свойства перед применением.

Задание 6 — быстрый балл в начале варианта, если свойства на автомате. Повтори степени с целым показателем, квадратные корни и логарифмы — каждая тема разобрана отдельно.

Номер идёт по соседству с заданием 5 по вероятности и заданием 4 по стереометрии — вместе они дают стабильную первую часть. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.