Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10: задачи с решениями и ответами

Признаки делимости: быстрый способ проверить число

Иногда в задаче нужно быстро понять, делится ли число без остатка, но выполнять длинное деление неудобно и легко ошибиться. Признаки делимости помогают проверить ответ устно или несколькими действиями на черновике. В этой статье ты разберёшь правила для чисел 2, 3, 5, 9 и 10, увидишь решения и потренируешься замечать типичные ловушки.

Число делится на другое число, если при делении получается целое число без остатка. Например, 18 делится на 3, потому что 18 ÷ 3 = 6. Признак делимости заменяет само деление проверкой цифр числа.

24 → делится на 2, потому что последняя цифра 4
135 → делится на 5, потому что последняя цифра 5
126 → делится на 3, потому что 1 + 2 + 6 = 9

Важно не смешивать признаки. Для делимости на 2 и 5 смотрят на последнюю цифру, а для 3 и 9 складывают все цифры. На повторении сложения и вычитания удобно закрепить аккуратные вычисления суммы цифр.

Типичная ошибка — проверять только первую цифру или считать, что любое чётное число делится на 5. Например, 42 делится на 2, но не делится на 5.

Делимость на 2, 5 и 10

Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют чётными. Если последняя цифра 1, 3, 5, 7 или 9, число нечётное и на 2 без остатка не делится.

На 5 делятся числа, которые заканчиваются цифрой 0 или 5. На 10 — только числа, оканчивающиеся нулём. Поэтому делимость на 10 автоматически означает делимость и на 2, и на 5.

3 748 → последняя цифра 8 → делится на 2
6 235 → последняя цифра 5 → делится на 5
4 920 → последняя цифра 0 → делится на 2, 5 и 10

Разберём задачу: какие из чисел 140, 275, 318 и 1 006 делятся на 10? Смотрим только на последнюю цифру. Нуль есть у 140 и 1 006, значит, именно они подходят.

Ошибка возникает, когда ученик видит в записи цифру 0, но она стоит не последней. Число 2 304 не делится на 10, хотя нуль в нём есть. Для бесплатной практики можно открыть личный кабинет и решить несколько похожих заданий.

Делимость на 3 и 9

Чтобы проверить делимость на 3, сложи все цифры числа. Если сумма делится на 3, то и исходное число делится на 3. Для делимости на 9 используется такой же способ, но сумма должна делиться именно на 9.

Например, у числа 7 236 сумма цифр равна 7 + 2 + 3 + 6 = 18. Число 18 делится и на 3, и на 9, поэтому 7 236 делится на оба числа.

5 142: 5 + 1 + 4 + 2 = 12
12 делится на 3, но не делится на 9
Значит, 5 142 делится на 3, но не делится на 9

Полное решение можно записать так: сумма цифр числа 5 142 равна 12. Так как 12 ÷ 3 = 4, число делится на 3. Так как 12 на 9 без остатка не делится, признак делимости на 9 не выполняется.

Типичная ошибка — сравнивать сумму цифр с самим делителем только визуально. Сумма 15 не равна 9, но делится на 3. После сложения обязательно проверь делимость получившейся суммы.

Если хочется сравнить несколько правил и потренироваться системно, полезно повторить работу с рациональными дробями: там тоже важна внимательная проверка действий.

Таблица признаков и разобранная задача

Соберём основные правила в одной таблице. Она пригодится при выполнении упражнений, но не заменит понимания: сначала определи нужный делитель, затем выбери соответствующий признак.

Задача: определить, делится ли 4 590 на 2, 3, 5, 9 и 10. Последняя цифра 0, поэтому деление на 2, 5 и 10 возможно. Сумма цифр: 4 + 5 + 9 + 0 = 18. Она делится на 3 и 9, значит, число делится на все пять делителей.

4 590: последняя цифра 0 → 2, 5, 10
4 + 5 + 9 + 0 = 18 → 3, 9
Ответ: делится на 2, 3, 5, 9 и 10

Ошибка — сделать вывод о 9 только по делимости на 3. Например, 12 делится на 3, но не на 9.

Задачи для самостоятельной отработки

Решай задания по алгоритму: прочитай делитель, назови признак, выполни проверку и запиши вывод. Не начинай с полного деления, если можно обойтись одной цифрой или суммой.

1. Какие числа делятся на 2: 417, 528, 630, 751?
2. Какие числа делятся на 5: 204, 315, 470, 682?
3. Делится ли 8 127 на 3 и 9?

Ответы: в первом задании подходят 528 и 630, потому что их последние цифры чётные. Во втором подходят 315 и 470, так как они оканчиваются на 5 или 0. В третьем сумма цифр равна 8 + 1 + 2 + 7 = 18, поэтому 8 127 делится и на 3, и на 9.

Задача посложнее: найди цифру вместо знака в числе 43□, чтобы число делилось на 3. Сумма известных цифр равна 7. Нужно, чтобы 7 + □ делилось на 3. Подходят цифры 2, 5 и 8: получаются суммы 9, 12 и 15.

Типичная ошибка — назвать только одну подходящую цифру. Если условие допускает несколько вариантов, перебери цифры от 0 до 9 или используй подходящие остатки.

После самостоятельной попытки зарегистрируйся для бесплатной практики: так удобнее проверить, где именно возникла ошибка.

Что запомнить

Для делимости на 2 смотри на последнюю цифру: она должна быть чётной. Для 5 нужны 0 или 5, для 10 — только 0. Для 3 и 9 складывай все цифры: сумма должна делиться на нужный делитель.

2 → последняя цифра чётная
5 → последняя цифра 0 или 5
10 → последняя цифра 0
3 → сумма цифр делится на 3
9 → сумма цифр делится на 9

Перед ответом спроси себя: какой признак подходит именно здесь? Если проверяешь 2, 5 или 10, не складывай цифры без необходимости. Если проверяешь 3 или 9, не ограничивайся последней цифрой.

Мини-задача: делится ли 2 430 на все пять чисел? Последняя цифра 0, а сумма цифр равна 9. Значит, ответ: да, делится на 2, 3, 5, 9 и 10.

Ошибка — записать только «да» без объяснения. В учебной работе показывай последнюю цифру или сумму цифр. Следующий шаг прост: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить тему.