Применение первого закона к изопроцессам

Первый закон и изопроцессы

Изопроцессы часто кажутся набором похожих формул: где-то постоянны давление, объём или температура, а где-то нужно вспомнить работу газа. На самом деле достаточно понять одну идею: полученная газом теплота расходуется на изменение внутренней энергии и работу. В этой статье ты разберёшь универсальный алгоритм, научишься выбирать нужную формулу и не путаться со знаками.

Первый закон термодинамики записывают так:

\( Q = \Delta U + A \)
Q — количество теплоты, Дж
ΔU — изменение внутренней энергии, Дж
A — работа газа, Дж

Если газ получает теплоту, Q > 0. Если газ отдаёт энергию окружающей среде, Q < 0. Работа газа положительна при расширении и отрицательна при сжатии. Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при постоянной температуре ΔU = 0.

Изохорный процесс: V = const

При изохорном процессе объём газа не меняется. Значит, газ не перемещает границу сосуда и не совершает механическую работу:

\( A = p \times \Delta V \)
\( \Delta V = 0 \)
\( A = 0 \)

Тогда первый закон упрощается:

\( Q = \Delta U \)

Вся переданная газу теплота идёт на изменение его внутренней энергии. Если температура растёт, внутренняя энергия увеличивается и газ получает теплоту. Если газ охлаждается, он отдаёт теплоту.

Для одноатомного идеального газа:

\( \Delta U = 3νR\Delta \dfrac{T}{2} \)
ν — количество вещества, моль
R = 8,31 Дж/(моль·К)
ΔT = T₂ − T₁, К

Например, при нагревании газа в жёстком баллоне объём постоянен, поэтому работу искать не нужно. Достаточно вычислить изменение температуры и подставить его в формулу для ΔU.

Изобарный процесс: p = const

При постоянном давлении газ может расширяться или сжиматься, поэтому работа уже не равна нулю. Для изобарного процесса:

\( A = p(V_2 - V_1) \)
\( A = p\Delta V \)

При расширении V₂ > V₁ и A > 0. При сжатии V₂ < V₁ и A < 0. Первый закон сохраняет общий вид:

\( Q = \Delta U + p\Delta V \)

Для идеального газа при постоянном давлении увеличение температуры приводит к увеличению объёма. Это можно увидеть из закона Шарля:

\( \dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \)

В школьных задачах температуры обязательно переводят в кельвины:

\( T = t + 273 \)

Например, если газ нагревают от 27 °C до 127 °C, используют 300 К и 400 К, а не 27 и 127. Удобная связь для одноатомного газа при изобарном нагревании: Q = 5νRΔT / 2. Она получается сложением энергии на нагревание и работы расширения.

Изотермический процесс: T = const

При постоянной температуре внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

\( \Delta U = 0 \)

Поэтому первый закон превращается в равенство:

\( Q = A \)

Если газ расширяется, он совершает положительную работу. Чтобы температура оставалась постоянной, газ должен получать от нагревателя такое же количество теплоты. При сжатии работа газа отрицательна, поэтому газ отдаёт энергию.

Работу при изотермическом процессе находят по формуле:

\( A = νRT \ln (\dfrac{V_2}{V_1}) \)

В школьных заданиях часто достаточно качественного вывода: при расширении V₂ / V₁ > 1, значит A > 0 и Q > 0. При сжатии отношение меньше единицы, поэтому работа и теплота отрицательны. Давление и объём при этом связаны законом Бойля — Мариотта:

\( p_1V_1 = p_2V_2 \)

Закрепить такой алгоритм можно в личном кабинете с бесплатной практикой: после теории сразу проверь, как меняются знаки величин.

Как решать задачи по первому закону

Удобно действовать по четырём шагам. Сначала определи вид процесса и постоянную величину. Затем запиши первый закон и исключи слагаемое, которое равно нулю. После этого переведи все данные в СИ и только потом выполняй вычисления. В конце проверь знак ответа и единицы измерения.

Типовая задача. Одноатомный газ количеством 2 моль нагрели при постоянном объёме на 50 К. Найди количество теплоты.

Дано:
\( ν = 2 \text{моль} \)
ΔT = 50 К
\( V = const \)
Решение:
\( A = 0 \)
\( Q = \Delta U = 3νR\Delta \dfrac{T}{2} \)
\( Q = 3 \times 2 \times 8,31 \times \dfrac{50}{2} \approx 1246,5 \text{Дж} \)
Ответ: Q ≈ 1,25 кДж.

Процесс	Постоянно	Работа	Связь по первому закону
Изохорный	V	A = 0	Q = ΔU
Изобарный	p	A = pΔV	Q = ΔU + A
Изотермический	T	A ≠ 0	Q = A

Что запомнить

Первый закон термодинамики объясняет, куда направляется энергия:

\( Q = \Delta U + A \)

В изохорном процессе работа равна нулю, поэтому Q = ΔU. В изобарном процессе нужно учитывать работу pΔV. В изотермическом процессе температура и внутренняя энергия идеального газа постоянны, поэтому Q = A. Всегда следи за единицами: энергия измеряется в джоулях, давление — в паскалях, объём — в кубических метрах, температура в формулах — в кельвинах.

Если хочется закрепить тему не только чтением, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Начни с определения процесса, а затем объясни себе, почему конкретное слагаемое исчезает или сохраняется. Такой порядок надёжнее механического заучивания.

Для системной подготовки можно дополнительно открыть материалы по физике ОГЭ или посмотреть задания для подготовки к ЕГЭ.