Графики изопроцессов — разбор для ЕГЭ

Основы и уравнение состояния

Привет! Графические задачи по молекулярной физике встречаются в первой и второй частях ЕГЭ практически в каждом варианте. Чтобы уверенно их решать, не нужно зубрить десятки картинок. Достаточно понимать физический смысл процессов и уметь опираться на базовые законы, которые изучает молекулярная физика и МКТ.

Главный инструмент для анализа любого графика — это уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона): p · V = ν · R · T, где p — давление газа в паскалях (Па), V — объем в кубических метрах (м³), ν — количество вещества в молях (моль), R = 8,31 Дж/(моль · К) — универсальная газовая постоянная, а T — абсолютная температура в кельвинах (К).

Изопроцессом называют изменение состояния газа постоянной массы (m = const, ν = const), при котором один из трех макроскопических параметров (p, V или T) остается неизменным. Если ты зафиксируешь одну величину, зависимость между двумя другими сразу станет очевидной математической функцией: линейной пропорциональностью или обратной зависимостью (гиперболой).

Изопроцессы в координатах p-V, p-T, V-T

На экзамене графики чаще всего задают в трех системах координат: p-V, p-T и V-T. В «родных» осях, где присутствует постоянная величина, график всегда выглядит как прямая линия, перпендикулярная соответствующей оси.

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре (T = const). В координатах p-V закон Бойля — Мариотта дает зависимость p = (ν · R · T) / V, то есть график представляет собой равнобочную гиперболу. В координатах p-T и V-T изотерма отображается вертикальным или горизонтальным отрезком, перпендикулярным оси T.

Изобарный процесс идет при постоянном давлении (p = const). Закон Гей-Люссака связывает объем и температуру прямой пропорциональностью: V = (ν · R / p) · T. В осях V-T это луч, выходящий из начала координат (пунктиром от нуля). В осях p-V и p-T это горизонтальная прямая, перпендикулярная оси давления.

Изохорный процесс происходит при постоянном объеме (V = const). По закону Шарля давление пропорционально температуре: p = (ν · R / V) · T. В осях p-T это луч из начала координат, а в осях p-V и V-T — линия, перпендикулярная оси объема.

Изопроцесс	Постоянная	Оси p-V	Оси p-T	Оси V-T
Изотермический	T = const	Гипербола	Перпендикуляр к T	Перпендикуляр к T
Изобарный	p = const	Перпендикуляр к p	Перпендикуляр к p	Прямая через (0,0)
Изохорный	V = const	Перпендикуляр к V	Прямая через (0,0)	Перпендикуляр к V

Сравнение состояний и наклон линий

Часто в заданиях требуется сравнить параметры двух разных процессов, например, определить, где давление или объем больше. Для этого используют угол наклона прямых и метод сечений.

Вспомним уравнение изохоры в осях p-T: p = (ν · R / V) · T. Угловой коэффициент наклона k равен ν · R / V. Чем круче идет прямая к оси T, тем больше коэффициент наклона k, а значит, тем меньше объем V при одинаковом количестве вещества. Соответственно, более пологая прямая соответствует большему объему.

Аналогично для изобар в координатах V-T: наклон прямой равен k = ν · R / p. Чем выше поднимается луч относительно оси температуры, тем меньше давление газа. Если тебе сложно запомнить эти правила, используй универсальный прием с изобарой или изохорой-секущей.

Типовые графические ловушки в ЕГЭ

Составители экзаменационных вариантов часто расставляют визуальные ловушки. Первая из них — смещенное начало координат. Если на графике в осях p-T или V-T прямая линия идет под углом, но при продлении не попадает в точку (0,0), то этот процесс НЕ является изохорным или изобарным! Это произвольный процесс, где меняются все три параметра.

Вторая ловушка связана с направлением процесса. Обязательно проверяй стрелки на линиях. Если объем увеличивается, газ совершает положительную работу, о чем напоминает термодинамика. Если стрелка направлена в сторону уменьшения объема, над газом совершают работу внешние силы.

Третья распространенная ошибка — невнимательность к размерностям на осях. Давление любят указывать в кПа (10³ Па) или МПа (10⁶ Па), а объем — в литрах (1 л = 10⁻³ м³) или кубических дециметрах. Без перевода в систему СИ численный расчет приведет к неверному ответу.

Решение типовой задачи

Давай подробно разберем задачу на чтение графиков и базовые газовые законы. С одним молем одноатомного идеального газа проводят циклический процесс. В состоянии 1 газ имел объем V₁ = 2 л и находился под давлением p₁ = 100 кПа при температуре T₁ = 300 К. Из состояния 1 газ изобарно нагрели до состояния 2 так, что его температура увеличилась в 2 раза. Затем газ изохорно охладили до начальной температуры T₃ = T₁. Найди давление газа p₃ в состоянии 3.

Дано:
\( ν = 1 \text{моль} \)
\( p_1 = 100 \text{кПа} = 10^5 \text{Па} \)
\( V_1 = 2 \text{л} = 2 \cdot 10^-^3 \text{м}^3 \)
T₁ = 300 К
Процесс 1-2: p = const, T₂ = 2 · T₁ = 600 К
Процесс 2-3: V = const, T₃ = T₁ = 300 К
Найти: p₃

Решение:
1) Для изобарного процесса 1-2 применим закон Гей-Люссака:
\( \dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \to V_2 = V_1 \cdot (\dfrac{T_2}{T_1}) = 2 \text{л} \cdot 2 = 4 \text{л}. \)
Давление при этом не менялось: p₂ = p₁ = 100 кПа.
2) В процессе 2-3 объем постоянен: V₃ = V₂ = 4 л.
Применим закон Шарля для изохорного охлаждения от T₂ до T₃:
\( \dfrac{p_2}{T_2} = \dfrac{p_3}{T_3} \to p_3 = p_2 \cdot (\dfrac{T_3}{T_2}). \)
Так как T₃ / T₂ = 300 / 600 = 1/2, получаем:
\( p_3 = 100 \text{кПа} \cdot (\dfrac{1}{2}) = 50 \text{кПа} = 5 \cdot 10^4 \text{Па}. \)

Ответ: 50 кПа.

Шпаргалка: что запомнить

Подведем краткий итог для быстрой подготовки к экзамену:

1. Изотерма в осях p-V — это всегда гипербола. Чем выше лежит ветвь гиперболы, тем больше температура газа при постоянной массе.

2. Изобара в осях V-T и изохора в осях p-T — прямые лучи, продолжение которых обязательно упирается в начало координат (0,0).

3. Чем больше наклон изохоры к оси T в осях p-T, тем меньше объем. Чем больше наклон изобары к оси T в осях V-T, тем меньше давление.

4. Чтобы мгновенно сравнить параметры, проводи вертикальную или горизонтальную секущую линию и сравнивай значения по второй оси.