Задание 15 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что за задание 15

Здесь проверяют планиметрию — в первую очередь площади. Дают рисунок на клетчатой бумаге или фигуру с указанными размерами и просят найти площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга или его части. Ответом будет целое число или конечная десятичная дробь, единицы измерения в бланк не пишут. Формулы площадей есть в справочных материалах, которые выдают вместе с вариантом, — но пользоваться ими нужно быстро, времени на экзамене мало.

Площадь треугольника

Две главные формулы: через основание и высоту и через две стороны с синусом угла между ними.

\( S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h \)

\( S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha \)

У прямоугольного треугольника высота совпадает с катетом, поэтому площадь равна половине произведения катетов.

1. Пример: основание треугольника равно 12, высота к нему — 5.
2. По формуле: S = 1/2 · 12 · 5 = 30.
3. Ответ: 30.

Полезна прикидка: половина от 60 — значит, площадь должна быть заметно меньше произведения основания на высоту. Получили 30 — сходится.

Прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция

Четырёхугольники встречаются даже чаще. Для каждой фигуры — короткая формула.

S прямоугольника = a · b

S параллелограмма = a · h

S ромба = 12 · d₁ · d₂

S трапеции = (a + b) / 2 · h

1. Пример: основания трапеции равны 7 и 13, высота — 6.
2. Считаем: (7 + 13) / 2 · 6 = 10 · 6 = 60.
3. Ответ: 60.

В параллелограмме h — высота, перпендикуляр к стороне a, а не боковая сторона. В трапеции сначала сложи основания и раздели пополам, потом умножай на высоту.

Круг и его части

Для круга нужны площадь самого круга и площадь сектора — «куска», отрезанного двумя радиусами.

S круга = πr²

S сектора = πr² · α / 360°

1. Пример: радиус 6, сектор с углом 60°.
2. Площадь круга: π · 36. Сектор — шестая часть круга: 36π / 6 = 6π.
3. Если в условии сказано, что π ≈ 3,14, ответ: 18,84.

Кольцо считается вычитанием: площадь внешнего круга минус площадь внутреннего.

Фигуры на клетчатой бумаге

Если сторона клетки равна 1, длины считаются прямо по клеткам: сколько клеток между вершинами — столько и единиц.

1. Пример: треугольник с вершинами (1; 1), (7; 1) и (3; 4).
2. Нижняя сторона идёт по горизонтали: основание равно 6.
3. Высота — по вертикали от y = 1 до y = 4: это 3.
4. S = 1/2 · 6 · 3 = 9. Ответ: 9.

Если ни одна сторона не лежит на линиях сетки, работай через достройку: прямоугольник минус треугольники по углам. Все способы — включая формулу Пика — собраны в статье про формулы площадей фигур.

Типичные ошибки

• Принять боковую сторону параллелограмма за высоту. Высота — это перпендикуляр к основанию, на рисунке её часто рисуют отдельным отрезком.
• Забыть полусумму в трапеции: сначала сложи основания и раздели на 2.
• Перепутать радиус и диаметр: площадь круга считается по радиусу, а диаметр вдвое больше.
• Посчитать не ту фигуру: могут спросить площадь закрашенной части, а не всей картинки.

Каждая из этих ошибок — потерянный балл, хотя вычисления были верными.

Планиметрия в базовом ЕГЭ — про внимательность, а не про сложность: формулы простые и даже выдаются на экзамене. Если хочется освежить основу, посмотри статью про треугольники и вспомни план подготовки к ЕГЭ, чтобы собирать баллы по всей программе.

Дальше по геометрии идёт задание 16 про углы — его разбираем отдельно. А если нужна поддержка, заходи на Просто Урок: там любую тему объяснят спокойно и по шагам.