Задание 17 ЕГЭ 2027: моделирование и оптимизация

Что проверяет задание 17

По спецификации задание 17 проверяет умение моделировать реальные ситуации на языке математики: составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию, исследовать модель с помощью алгебры и начал математического анализа и интерпретировать результат. Допускаются задачи из других школьных предметов. Это задание части 2 повышенной сложности: максимум 2 балла, ориентир по времени — около 20 минут.

В демонстрационном варианте два примера: максимальная тепловая мощность, которую генератор выделяет в нагрузке, и период волны, при котором амплитуда качки корабля наибольшая. В обоих случаях нужно найти наибольшее значение величины или то значение аргумента, при котором оно достигается.

Алгоритм решения в пять шагов

1. Что искать. Определите, спрашивают значение величины (например, мощность) или значение аргумента, при котором она наибольшая (например, сопротивление).
2. Модель. Выразите нужную величину как функцию одной переменной. Остальные буквы — числа из условия.
3. Область. Запишите, какие значения переменной возможны по смыслу (R > 0, время неотрицательно).
4. Исследование. Найдите вершину параболы или нули производной и определите знаки производной на промежутках.
5. Вывод. Ответьте на вопрос задачи и запишите размерность.

Разбор демо-задачи: мощность генератора

Генератор имеет ЭДС ε = 50 В и внутреннее сопротивление r = 1 Ом. К нему подключают нагрузку R. Сила тока I = ε/(r + R), мощность P = I²R. Какова наибольшая мощность, выделяемая в нагрузке?

1. Подставляем: P(R) = ε²R / (r + R)² = 2500R / (1 + R)², где R > 0.
2. Производная: P′(R) = 2500·((1 + R)² − 2R(1 + R)) / (1 + R)⁴ = 2500·(1 − R) / (1 + R)³.
3. P′ > 0 при 0 < R < 1 и P′ < 0 при R > 1. Функция возрастает до R = 1 и убывает после, значит наибольшее значение достигается в R = 1.
4. P(1) = 2500 : 4 = 625 Вт.

Ответ: 625 Вт. Это известное правило физики: нагрузка получает максимальную мощность, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника (R = r), и тогда P = ε² / (4r).

Ещё пример: коробка из листа

Из квадратного листа 12 × 12 вырезают по углам квадраты со стороной x и сгибают коробку без крышки. Каким нужно взять x, чтобы объём был наибольшим?

1. Основание — квадрат со стороной 12 − 2x, высота x. Модель: V(x) = x(12 − 2x)², причём 0 < x < 6.
2. V(x) = 4x³ − 48x² + 144x, V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x − 2)(x − 6).
3. На (0; 2) производная положительна, на (2; 6) отрицательна, значит максимум при x = 2.
4. V(2) = 2·8² = 128.

Ответ: x = 2, наибольший объём 128. Заметьте: в вопросе могут спрашивать любую из двух величин — внимательно перечитайте последнюю строку условия.

Когда достаточно вершины параболы

Если модель — квадратичная функция, производная не нужна. Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в x = −b/(2a). Пример: участок огораживают забором с трёх сторон (четвёртая — стена), длина забора 60 м. Если x — сторона, перпендикулярная стене, то площадь S = x(60 − 2x) = −2x² + 60x. Вершина x = 15, площадь 15·30 = 450 м². Если ветви направлены вниз, вершина даёт максимум, если вверх — минимум.

Критерии: за что ставят баллы

Задание 17 оценивается по трёхбалльной шкале 0–1–2. По критериям демоверсии 2 балла ставят за обоснованно полученный верный ответ. 1 балл — за неверный ответ из-за вычислительной ошибки, если при этом верна последовательность всех шагов решения. Всё остальное — 0 баллов. Значит, ошибка в арифметике не обнуляет решение, а вот пропуск обоснования (знаков производной, области определения) может стоить балла.

Частые ошибки

• Неверная область определения: время, длина и сопротивление не бывают отрицательными.
• Ответ на другой вопрос: нашли R, а спрашивали P.
• Находят нули производной, но не проверяют, максимум это или минимум.
• Теряют размерность в ответе или путают единицы (км/ч и м/с).

Источник: проекты демонстрационного варианта, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике, подготовленные ФИПИ. Документы опубликованы как проекты, поэтому перед экзаменом сверяйтесь с окончательными версиями на сайте ФИПИ (fipi.ru).