Просто УрокЗадание 2 ЕГЭ по математике (база): как решать
Проценты — самый частый сюжет бытовых задач базового ЕГЭ: скидки, наценки, тарифы, содержание веществ, доли и части. Разбираем три типа задач, множители повышения и снижения и две ловушки, из-за которых ответ получается «почти правильным».
Что это за задание
Второе задание базового ЕГЭ — это проценты и доли в бытовой обёртке: скидка в магазине, подорожание тарифа, доля воды в соке, часть класса в кружке. Вся теория помещается в одну строку.
1% = 1100 числа
Задание короткое: одно-два действия. Если решение разрастается на страницу — ты пошёл не тем путём, отступи на шаг и перечитай вопрос. Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому считай дробями и множителями, а не столбиком.
Три типа задач
Тип 1. Найти процент от числа. Умножаем число на процент и делим на сто:
p% от числа a = a · p100
- Пример: найди 30% от 60.
- Умножаем: 60 · 30 = 1800.
- Делим на 100: 1800 / 100 = 18.
- Ответ: 18.
Тип 2. Сколько процентов одно число составляет от другого. Делим часть на целое и умножаем на 100%:
\( \dfrac{a}{b} \cdot 100\% \)
Пример: 6 от 24 — это 6 / 24 = 0,25, то есть 25%.
Тип 3. Найти число по его проценту. Умножаем известную часть на сто и делим на процент:
число = a · 100p
Пример: если 12% числа равны 36, само число — 36 · 100 / 12 = 300. Любая экзаменационная формулировка собирается из этих трёх кубиков.
Доли вместо процентов
Иногда слова «процент» в задаче нет вообще — есть «треть», «четверть», «3/5 пути». Схема та же:
часть = целое · доля
Пример: из 45 выпускников 3/5 сдавали физику. Значит, физику сдавали 45 · 3/5 = 27 человек.
Стандартные проценты полезно держать в двух записях сразу: 50% = 1/2, 25% = 1/4, 20% = 1/5, 10% = 1/10. Тогда 20% от 70 — это просто 70 / 5 = 14, без формул и столбиков.
Множители: один шаг вместо двух
Когда число растёт или уменьшается на p%, умножай его сразу на множитель — это один шаг вместо двух:
рост на p%: a · (1 + p100)
снижение на p%: a · (1 − p100)
Подорожало на 15% — умножай на 1,15. Подешевело на 15% — умножай на 0,85. В задании 2 изменение обычно одно, поэтому множитель решает его в одно действие. А вот когда изменений два — начинается главная ловушка, разберём её ниже.
Первым делом спрашивай себя: от какого числа берётся процент? Основание может меняться внутри одной задачи — именно на смене основания строятся все каверзные варианты.
Разбор примера по шагам
Задача: после подорожания на 10% куртка стоит 2200 ₽. Сколько она стоила до подорожания?
- Обозначим старую цену x и запишем через множитель: x · 1,1 = 2200.
- Делим: x = 2200 / 1,1 = 2000.
- Проверяем: 2000 + 10% = 2000 + 200 = 2200 — сходится.
- Ответ: 2000 ₽.
Заметь: делить на 1,1 — значит «отмотать» повышение. Отнимать 10% от 2200 — ошибка, ведь проценты брались от старой цены, а не от новой.
Потренируй задание 2
В тренажёре ЕГЭ выбери базовую математику, получи короткую теорию и серии из пяти задач на проценты — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Ловушки задания 2
Ловушка 1. Скидки не складываются. Товар за 2000 ₽: после скидки 15% цена стала 2000 · 0,85 = 1700 ₽, затем скидка 20% уже от новой цены: 1700 · 0,8 = 1360 ₽. Суммарно — 32%, а не 35%. Проценты нельзя складывать, если они берутся от разных оснований.
Ловушка 2. «На» и «в» — разные слова. «Больше на 100%» означает «в 2 раза больше». Рост «на 50%» — это множитель 1,5, то есть «в полтора раза», а не вдвое. Переводи фразу из условия в множитель, прежде чем считать.
Ловушка 3. Процент бывает больше 100 — и это не страшно. 120% от 400 — это 400 · 1,2 = 480. Формула та же.
Нашёл ответ — проверь обратным действием. Отмотал повышение — умножь результат на множитель и сравни с условием. Совпало за десять секунд — уверенно записывай ответ.
Проценты — сквозная тема, поэтому стоит увидеть её целиком: подробный разбор всех типов с формулами есть в статье про задачи на проценты, а задачи «на части и доли» разобраны отдельно в материале про части, отношения и доли. Соседние задания базы — вычисления и чтение таблиц и графиков — строятся на том же уверенном счёте.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Как быстро считать 10%, 20%, 25% в уме?
Переводи проценты в дроби: 10% — это 1/10, 20% — 1/5, 25% — 1/4, 50% — 1/2. Например, 25% от 80 — это 80 / 4 = 20. Дроби работают быстрее формулы и столбика.
Чем «больше на» отличается от «больше в»?
«Больше на 100%» — значит стать в 2 раза больше. Рост «на 50%» — это множитель 1,5, а не 2. Всегда переводи фразу в множитель: на p% — умножить на (1 + p/100).
Почему скидки нельзя просто складывать?
Вторая скидка считается уже от уменьшенной цены, а не от исходной. Товар за 2000 ₽: после скидки 15% — 1700 ₽, после скидки 20% — 1360 ₽. Суммарная скидка — 32%, а не 35%.
Что делать, если процент больше 100?
Ничего страшного: 120% — это 1,2 числа. Формула та же — умножай число на 120 / 100. Например, 120% от 400 — это 480.