Задание 1 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 1

Задание 1 открывает экзамен и относится к части 1 профильного ЕГЭ: ответ краткий, целое число или конечная десятичная дробь. Тематика — планиметрия, чаще всего площади и углы: треугольники, параллелограммы, трапеции, ромбы, окружности и их части. Формулировки короткие: дана фигура с известными размерами — нужно найти площадь или угол.

Проверяют здесь две вещи: знаешь ли ты базовые формулы и умеешь ли видеть в чертеже знакомую фигуру. Развёрнутого решения писать не нужно — только ответ, поэтому цена ошибки высока: перепутал высоту с боковой стороной — и балла нет.

Один нюанс: набор фигур от года к году может меняться, поэтому перед тренировками сверь типизацию и формат ответа с актуальной демоверсией ФИПИ.

Формулы площадей, которые нужны

Минимальный набор для задания 1 — площади основных фигур. Для треугольника достаточно трёх формул: через основание и высоту, через две стороны и угол между ними, и отдельная — для равностороннего треугольника.

S треугольника = ½ · a · h

S = ½ · a · b · sin γ, S равностороннего = a²√34

Четырёхугольники закрываются ещё четырьмя формулами. Обрати внимание на ромб: его площадь считается через диагонали — это любимая подсказка в условии.

S параллелограмма = a · h, S ромба = ½ · d₁ · d₂

S трапеции = (a + b) / 2 · h

Про круг чаще спрашивают площадь сектора — «куска пирога»: она составляет такую же долю круга, какую угол составляет от полного оборота.

S круга = πr², S сектора = πr² · α / 360°

Самая частая потеря балла — подставить в формулу боковую сторону вместо высоты, особенно в трапеции и параллелограмме. Вторая ловушка — забыть половину: ½ · a · h, а не a · h.

Углы: треугольник и окружность

Вторая группа сюжетов — углы. База, которую нужно знать наизусть: сумма углов треугольника равна 180°, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сумма смежных углов равна 180°, вертикальные углы равны.

сумма углов треугольника = 180°

Отдельный блок — углы окружности. Центральный угол опирается на дугу и равен ей, а вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, — то есть половине соответствующего центрального.

вписанный угол = ½ центрального угла

Из этого следуют два факта, которые экзамен любит особенно: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°, а равные вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой. Если вписанный угол «смотрит» на диаметр — дальше почти всегда работает теорема Пифагора.

Пример решения по шагам

Условие (учебный пример): основания трапеции равны 3 и 7, высота равна 4. Найди площадь трапеции.

1. Запиши формулу: S = (a + b) / 2 · h.
2. Подставь числа: S = (3 + 7) / 2 · 4.
3. Посчитай: S = 5 · 4 = 20.
4. Ответ: 20.

Всё решение — одна формула и два действия. Ошибка чаще всего не в вычислении, а в выборе данных: в трапеции легко принять боковую сторону за высоту. Поэтому первым делом сверься с чертежом: число 4 — это перпендикуляр между основаниями или наклонная грань. Если перпендикуляр не нарисован, а даны все стороны — высоту придётся найти, обычно через прямоугольный треугольник.

Фигуры на клетчатой бумаге

Многие варианты задания 1 дают фигуру, нарисованную на клетчатой бумаге со стороной клетки 1. Здесь работают два приёма. Первый — прямое применение формул: длины считай по клеткам, высоту опусти и тоже посчитай по клеткам.

Второй приём — достраивание. Если фигура «косая», мысленно дорисуй её до прямоугольника и вычти площади лишних треугольников и прямоугольников. Этот способ страхует от ошибок с наклонными сторонами: не нужно вспоминать, куда встала высота, — достаточно честно посчитать маленькие площади.

Типичные ошибки и ловушки

• Подставить боковую сторону вместо высоты — классика трапеции и параллелограмма.
• Забыть половину в формулах ½ · a · h и ½ · d₁ · d₂.
• Перепутать вписанный и центральный углы: вписанный всегда вдвое меньше.
• В секторе забыть долю α / 360° и записать площадь целого круга.
• Считать площадь, когда просят угол, и наоборот — читай вопрос дважды.

И формат ответа: пиши только число, без единиц измерения, если в условии не сказано иное. Точный формат ещё раз сверь с демоверсией ФИПИ.

Планиметрия — сквозная тема: те же площади и углы встречаются в ОГЭ и в задачах с развёрнутым ответом. Чтобы освежить базу, загляни в разборы про треугольники и окружность и касательные, а полная шпаргалка — в статье про площади фигур.

Дальше по номерам: разбери задание 2 про векторы и координаты и задание 3 про объёмы и сечения тел. А если хочешь, чтобы подготовка шла по плану, открой тренажёр ЕГЭ на Просто Уроке — там любую тему объяснят спокойно и по шагам.