Задание 6 ЕГЭ 2027: математическое ожидание, как решать

Что проверяет задание 6

По спецификации задание 6 проверяет умение оперировать понятиями «случайная величина», «распределение вероятностей», «математическое ожидание», «дисперсия» и «стандартное отклонение». Это задание части 1: ответ — число, 1 первичный балл, на решение отводится около 8 минут.

В демонстрационном варианте условие простое: проведена лотерея, известно, сколько выигрышных билетов каждого вида, нужно найти математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». В кодификаторе дополнительно упомянуты равномерное, показательное и нормальное распределения, поэтому ниже кратко разобраны и они.

Случайная величина и таблица распределения

Случайная величина — число, значение которого зависит от случая: число очков на кубике, выигрыш в лотерее, число попаданий. Её описывают таблицей: значения x₁, x₂, … и их вероятности p₁, p₂, … Главное правило таблицы: сумма всех вероятностей равна 1. Это помогает найти пропущенное число.

Пример. Величина X принимает значения −1, 0, 2 и 5 с вероятностями 0,1; p; 0,3; 0,2. Сумма вероятностей равна 1, значит p = 1 − 0,1 − 0,3 − 0,2 = 0,4.

Математическое ожидание: формула и смысл

Математическое ожидание — «среднее значение с учётом шансов». Каждое значение умножают на его вероятность и результаты складывают:

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

Для таблицы из предыдущего примера: E(X) = (−1)·0,1 + 0·0,4 + 2·0,3 + 5·0,2 = −0,1 + 0 + 0,6 + 1 = 1,5. Ожидание не обязано совпадать с одним из значений: для кубика оно равно 3,5.

Типовой пример: лотерея

Выпущено 8000 билетов. Выигрыши: один по 20 000 руб., четыре по 5000 руб., двадцать по 500 руб., сто по 100 руб. Остальные билеты не выигрывают. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет.

1. Считаем общую сумму выигрышей: 20 000 + 4·5000 + 20·500 + 100·100 = 20 000 + 20 000 + 10 000 + 10 000 = 60 000 руб.
2. Делим на число билетов: 60 000 : 8000 = 7,5.

Ответ: 7,5 руб. Это то же самое, что формула E(X): каждое значение умножено на вероятность x·(m/8000), а сумма даёт тот же результат. Деление на общее число билетов — самый короткий способ.

Свойства ожидания и дисперсия

Два свойства экономят время. Первое: E(aX + b) = a·E(X) + b. Если E(X) = 4, то E(3X − 2) = 10. Второе: E(X + Y) = E(X) + E(Y) — для любых величин, даже зависимых. Поэтому ожидание суммы очков двух кубиков равно 3,5 + 3,5 = 7.

Дисперсия показывает разброс вокруг среднего: D(X) = E(X²) − (E(X))². Стандартное отклонение — корень из дисперсии: σ = √D. Пример: X принимает значения 1 и 3 с вероятностью 0,5. E(X) = 2, E(X²) = 0,5·1 + 0,5·9 = 5, D(X) = 5 − 4 = 1, σ = 1.

Для схемы Бернулли (n независимых испытаний, вероятность успеха p) число успехов имеет ожидание np. Например, при 10 выстрелах с вероятностью попадания 0,3 ожидаемое число попаданий равно 3.

Равномерное, показательное и нормальное распределения

В кодификаторе перечислены функции распределения и плотности трёх «непрерывных» распределений. В демоверсии таких задач нет, но базовые факты полезно знать:

Распределение	Что запомнить	Пример
Равномерное на [a; b]	E = a + b2, D = (b − a)²12	На [2; 8]: E = 5, D = 3
Показательное с параметром λ	E = 1λ	λ = 0,5: E = 2
Нормальное N(μ; σ)	E = μ; около 68 % значений в промежутке μ ± σ, около 95 % — в μ ± 2σ	μ = 100, σ = 15: около 68 % значений в [85; 115]

Если такая задача попадётся, в условии, как правило, будут даны нужные параметры, а решение сведётся к подстановке в эти формулы или к правилу «одной, двух и трёх сигм».

Частые ошибки

• Делят сумму значений на их число вместо взвешивания вероятностями. Среднее арифметическое равно ожиданию только если все значения равновероятны.
• Забывают нули: «без выигрыша» тоже значение величины, оно влияет на общее число билетов.
• Не проверяют, что сумма вероятностей равна 1.
• Путают дисперсию и стандартное отклонение.

Источник: проекты демонстрационного варианта, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике, подготовленные ФИПИ. Документы опубликованы как проекты, поэтому перед экзаменом сверяйтесь с окончательными версиями на сайте ФИПИ (fipi.ru).