Демоверсия ЕГЭ 2027 по профильной математике: разбор части 1

Как читать демоверсию 2027

Демонстрационный вариант показывает формат экзамена, а не будущие задачи. В нём на некоторых позициях приведено по нескольку формулировок, разделённых словом «ИЛИ»: так ФИПИ показывает, что задание в этой позиции может быть разным. В реальном варианте на каждой позиции будет только одно задание.

Ответ к заданиям 1–13 — целое число или конечная десятичная дробь. За каждое верное задание ставят 1 балл. Приблизительно на всю первую часть отводят 65 минут из 235, поэтому каждое задание должно решаться за 2–10 минут. Ниже — разбор по темам; числа в примерах придуманы нами и в экзамене не встретятся.

Геометрия: задания 1–3

Задание 1 — планиметрия. В демоверсии это четырёхугольник, описанный около окружности, и треугольник со средней линией. Главный факт для описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Пример: периметр четырёхугольника 40, AB = 12. Тогда AB + CD = 40 : 2 = 20 и CD = 8.

Задание 2 — векторы. Нужны координаты и три формулы: сумма, скалярное произведение и длина. Пример: a(3; 4), b(−2; 5). Скалярное произведение a·b = 3·(−2) + 4·5 = 14, длина |a| = √(9 + 16) = 5.

Задание 3 — стереометрия. Обычно сводится к известной связи объёмов или площадей. Для цилиндра, описанного около шара, объём шара составляет 2/3 объёма цилиндра. Если объём цилиндра 30, объём шара 20.

Вероятность: задания 4–6

Задание 4 — классическая формула P = m / n. Надёжный приём: искать вероятность противоположного события, если вопрос звучит «не достанется», «хотя бы один».

Задание 5 — несколько событий. Нужны формулы сложения (для несовместных событий) и умножения (для независимых), иногда формула полной вероятности. В демоверсии есть стрелок с несколькими мишенями и автоматическая линия с контролем качества. Рисуйте дерево вероятностей: так видно, какие ветви нужно сложить.

Задание 6 — новое. Нужно найти математическое ожидание по таблице или условию. Формула одна: E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ. Пример: в лотерее 5000 билетов, один выигрыш 10 000 руб., пять по 1000, пятьдесят по 100. Всего выплат 10 000 + 5000 + 5000 = 20 000 руб.; ожидаемый выигрыш на один билет 20 000 : 5000 = 4 руб. Подробнее — в отдельной статье.

Алгебра: задания 7 и 8

Задание 7 — одно уравнение: показательное, иррациональное или логарифмическое. Приём единый — привести к виду «степень = степень», «корень = число» или «логарифм = число» и сделать обратное действие. Пример: log₂(x + 3) = 5. Тогда x + 3 = 2⁵ = 32 и x = 29. Для иррациональных уравнений обязательна проверка корня подстановкой.

Задание 8 — вычисление выражения. В демоверсии встречаются тригонометрия со сведением углов (sin 164°), разность логарифмов и степени с корнями. Пример: 4·sin 20°·cos 20° / sin 40°. По формуле двойного угла 2·sin 20°·cos 20° = sin 40°, значит выражение равно 2. Формулы двойного угла и суммы углов выдаются в справочных материалах, остальное нужно помнить.

Функции и производная: задания 9 и 12

Задание 9 — график производной или функции. Если дан график f ′(x): точки экстремума — там, где график пересекает ось Ox; минимум — смена знака «−» на «+». Если дан график f(x): производная отрицательна там, где функция убывает. Если проведена касательная — f ′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной.

Задание 12 — по графику найти параметры формулы и вычислить значение. Пример: гипербола f(x) = k/x проходит через точку (4; 3). Тогда k = 12 и f(6) = 2. Для показательной функции aˣ подставляют точку с известными координатами.

Текстовые и прикладные задачи: 10, 11 и 13

Задание 10 — готовая формула из физики или экономики. Нужно аккуратно подставить числа, а при необходимости выразить из формулы величину. В демоверсии есть задача про торможение автомобиля, конденсатор и ускорение при разгоне. Часто получается квадратное уравнение — выбирайте корень, подходящий по смыслу.

Задание 11 — классическая текстовая задача: движение, работа, смеси и сплавы. Любую такую задачу сводят к уравнению через таблицу «величина — первый — второй». Проверяйте ответ: время и скорость должны быть положительными.

Задание 13 — новое. Финансовые сюжеты: вклад, кредит, налоги. Запишите долг по годам: умножили на множитель — вычли платёж. Пример: кредит 100 000 под 10 % на год возвращается одним платежом 100 000·1,1 = 110 000 руб. Подробный разбор равных и дифференцированных платежей — в статье про задание 13.

Источник: проекты демонстрационного варианта, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике, подготовленные ФИПИ. Документы опубликованы как проекты, поэтому перед экзаменом сверяйтесь с окончательными версиями на сайте ФИПИ (fipi.ru).