Задание 8 ОГЭ по математике: как решать

Что проверяет задание 8

В задании 8 ОГЭ по математике нужно найти значение числового или буквенного выражения, в котором есть степени и корни. Всё решается четырьмя свойствами степеней и парой правил для корня.

Типичные формулировки: вычислить 4⁵ · 4³ / 4⁶, упростить выражение с переменными вроде a⁷ · a⁵ / a¹⁰ или оценить иррациональное число — например, сказать, между какими целыми лежит √38. Ответ всегда короткий, а калькулятор на экзамене запрещён.

все задания сводятся к свойствам степеней и корней

Свойства степеней: главные правила

Степень — это краткая запись умножения числа само на себя: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Дальше всё строится на четырёх свойствах.

\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ^+ⁿ \)

\( aᵐ / aⁿ = aᵐ^-ⁿ \)

\( (aᵐ)ⁿ = aᵐ \cdot ⁿ \)

\( (ab)ⁿ = aⁿ \cdot bⁿ \)

Пример на сложение показателей: 3⁴ · 3² = 3⁶ = 729. Проверка прямым счётом: 3⁴ = 81, 3² = 9, и 81 · 9 = 729 — сходится. Правила видны на простых числах, поэтому их легко проверить самому.

Отрицательный и нулевой показатель

Отрицательный показатель переворачивает число в дробь: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Минус в показателе не делает результат отрицательным — он меняет число на обратное. А нулевой показатель всегда даёт единицу: 7⁰ = 1 (основание не равно нулю).

\( a^-ⁿ = \dfrac{1}{a}ⁿ, a^0 = 1 \)

Эти два факта часто прячут внутри выражений: например, в дроби 5⁹ / 5¹² при вычитании показателей получится 5⁻³, и нужно не забыть перевернуть: 5⁻³ = 1/125.

Квадратный корень и его свойства

Арифметический квадратный корень из a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a: √49 = 7, потому что 7² = 49. Для корней работают свои правила.

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)

\( \sqrt{a} / \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \)

\( (\sqrt{a})^2 = a \)

Эти свойства позволяют соединять числа под один корень и выносить множители наружу. Например, √72 = √(36 · 2) = 6√2. Подробная теория с примерами есть в статье про квадратные корни и иррациональные выражения.

Пошаговый пример со степенями

Задача: найди значение выражения 4⁵ · 4³ / 4⁶.

1. Умножаем степени с одинаковым основанием — показатели складываются: 4⁵ · 4³ = 4⁸.
2. Делим — показатели вычитаются: 4⁸ / 4⁶ = 4².
3. Считаем итог: 4² = 16.
4. Ответ: 16.

Обрати внимание: огромные числа умножать не пришлось — мы всю дорогу работали только с показателями. Смысл задания — заменить громоздкое вычисление действиями со степенями.

Пример с переменной решается так же: a⁷ · a⁵ / a¹⁰ = a¹² / a¹⁰ = a².

Пошаговый пример с корнем

Задача: найди значение выражения (√45 − √5) · √5.

1. Раскрываем скобки: √45 · √5 − √5 · √5.
2. Соединяем под один корень: √45 · √5 = √225 = 15.
3. Корень в квадрате даёт само число: √5 · √5 = 5.
4. Вычитаем: 15 − 5 = 10.
5. Ответ: 10.

А для оценки иррациональных чисел помогает прикидка: √38 лежит между √36 = 6 и √49 = 7, значит между 6 и 7.

Типичные ошибки и ловушки

1. Складывают показатели при возведении степени в степень: (3²)³ = 3⁶, а не 3⁵ — показатели перемножаются.
2. Забывают перевернуть дробь при отрицательном показателе: 2⁻³ = 1/8, а не −8.
3. Делают «корень из суммы»: √(9 + 16) ≠ 3 + 4. Под корень соединяются только произведения и частные.
4. Потеря минуса при делении: 5⁴ / 5⁶ = 5⁻² = 1/25, а не 25.

Против каждой ошибки работает проверка на маленьких числах: подставь 2 и 3 и посмотри, сходится ли правило.

И не забывай сверяться с демоверсией ФИПИ: формулировки и нумерация заданий обновляются, поэтому тренироваться нужно по актуальному формату. Свойства степеней разобраны подробнее в статье про степени с целым показателем, а правила сравнения значений — в материале про числовые неравенства.

Задание 8 стоит балла, который можно забрать гарантированно: четыре свойства степеней и три правила корней закрывают все варианты. Разобрался — двигайся к заданию 7 про числовую прямую или заглядывай в Просто Урок, где подготовку выстраивают по шагам.