Задание 9 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 9

В задании 9 профильного ЕГЭ встречаются текстовые задачи: движение по прямой и по воде, совместная работа, сплавы и смеси. Это задача первой части с кратким ответом — в бланк записывается только число.

Математика здесь несложная: достаточно уметь решать линейные и квадратные уравнения. Трудность в другом — нужно перевести бытовой сюжет на язык формул: обозначить неизвестное, составить таблицу величин и получить уравнение. Именно на этом шаге теряется больше всего попыток.

Набор сюжетов и формулировки от года к году меняются, поэтому перед тренировками открой актуальную демоверсию на сайте ФИПИ и сверь типизацию заданий.

Движение по прямой

Базовая формула одна — путь равен произведению скорости на время. Всё остальное — умение выразить из неё недостающую величину и аккуратно ввести переменную.

\( S = v \cdot t \)

Удобно рисовать таблицу: строки — участники движения, столбцы — скорость, время, путь. Две известные ячейки дают третью, а уравнение обычно собирается из равенства путей или разницы во времени. Подробная схема — в разборе про задачи на движение.

Пример. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью 60 км/ч, а через час вслед за ним — автомобиль со скоростью 90 км/ч. Через сколько часов автомобиль догонит автобус?

1. За первый час автобус успел уехать на 60 км — это начальный разрыв.
2. Автомобиль приближается со скоростью 90 − 60 = 30 км/ч.
3. Разрыв закрывается за 60 / 30 = 2 часа. Ответ: 2.

Запомни два правила: при встречном движении скорости складываются, при движении вдогонку — вычитаются. Прикидка здравым смыслом занимает секунды и спасает от арифметической описки.

Движение по воде

В задачах про реку появляются две скорости: собственная скорость лодки или катера и скорость течения. Течение помогает по пути и мешает обратно, поэтому формулы две:

по течению: v + u

против течения: v − u

Полезный приём: если известны скорости по течению и против, то собственная скорость — это их среднее арифметическое, а скорость течения — половина разности. Время против течения всегда больше, чем по течению, — используй это для прикидки.

Следи за единицами: если путь в километрах, а время в часах, скорость должна быть в км/ч. Минуты переводятся в часы делением на 60.

Совместная работа

Здесь работают три простых правила: весь объём работы принимаем за единицу, производительность — это часть работы за час, а при совместной работе производительности складываются.

\( A = p \cdot t \)

Из объёма и времени скорость работы находится делением: если рабочий выполняет заказ за 6 часов, за час он делает 1/6 заказа. Больше примеров — в разборе про совместную работу.

Пример. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3. За сколько часов они наполнят его вместе?

1. Производительности: 1/6 и 1/3 бассейна в час.
2. Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/2 бассейна в час.
3. Значит, весь бассейн — за 2 часа. Ответ: 2.

Если в условии сказано «первый работает на 2 часа дольше», удобно обозначить за x меньшее время и выразить остальное через него. Уравнение получится линейным.

Сплавы и смеси

Ключевая величина — масса чистого вещества: меди в сплаве, кислоты в растворе. Её доля равна отношению массы чистого вещества к массе всей смеси:

доля = чистое вещество / вся смесь

При смешивании складываются и массы чистых веществ, и общие массы. Проценты сразу переводи в доли: 20% — это 0,2.

Пример. Смешали 300 г 20%-го раствора и 200 г 45%-го. Сколько процентов кислоты в получившемся растворе?

1. Чистая кислота: 300 · 0,2 = 60 г и 200 · 0,45 = 90 г.
2. Всего кислоты: 60 + 90 = 150 г, масса раствора: 500 г.
3. Концентрация: 150 / 500 = 0,3, то есть 30%. Ответ: 30.

Таблица «масса — доля — чистое вещество» раскладывает любую смесь на три понятных столбца. Разбор сложных случаев — в статье про смеси и сплавы.

Типичные ошибки

1. Не перевёл минуты в часы или метры в километры.
2. Перепутал собственную скорость и скорость течения.
3. Нашёл x, а в бланк записал не то, о чём спрашивали.
4. Сложил проценты от разных масс, будто это независимые числа.
5. Получил отрицательное время и не заметил этого.

Ответ в задании 9 — целое число или конечная десятичная дробь. Получилась бесконечная дробь или отрицательное время — ищи ошибку в составлении уравнения, а не в арифметике.

Задание 9 — одна из самых доступных задач варианта: условия стандартные, числа подобраны так, чтобы уравнение решалось нацело. Освой три сюжета по разу, доведи таблицу и переменную до автоматизма — и эти баллы станут самыми спокойными. А если нужна основа ещё прочнее, повтори задачи на проценты. Рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.