Просто УрокЕГЭ база: текстовые задачи
Если «ЕГЭ база: текстовые задачи» кажется тёмным лесом — это нормально: тема собрана из нескольких простых идей. Покажем их по порядку, разберём пример и предупредим о ловушках.
Текстовые задачи на ЕГЭ: с чего начать
Текстовые задачи часто пугают не сложными вычислениями, а длинным условием: проценты, скорость, цена, производительность и несколько неизвестных в одном абзаце. На самом деле задача обычно сводится к понятной схеме: выделить величины, выбрать неизвестное, составить уравнение и проверить ответ. В этом разборе ты увидишь универсальный алгоритм, научишься замечать ключевые слова и перестанешь терять баллы из-за невнимательности.
Сначала прочитай условие целиком, не пытаясь сразу считать. Определи, о каком процессе идёт речь: движение, покупка, работа, смесь или изменение величины. Затем выпиши известные данные с единицами измерения. Если в условии есть километры и часы, не оставляй скорость в метрах в секунду: приведи всё к одной системе.
Следующий шаг — выбрать неизвестное. Лучше обозначать буквой именно ту величину, которую проще связать с остальными. Например, если дана начальная цена, а требуется найти новую, удобно взять за x коэффициент изменения или саму новую цену. После составления модели решай уравнение и обязательно возвращайся к вопросу задачи.
Универсальный алгоритм решения
Работай по пяти шагам. Первый: выпиши величины и единицы. Второй: установи связь между ними. Третий: введи неизвестное. Четвёртый: составь уравнение или систему. Пятый: проверь смысл ответа. Такой порядок особенно полезен, когда условие кажется перегруженным.
Для движения используется связь: расстояние = скорость × время. Для работы удобно мыслить производительностью: вся работа принимается за 1, а часть работы за час равна 1, делённому на время выполнения всей работы. В задачах на проценты сначала реши, что является 100%. Цена после увеличения на p% равна исходной цене, умноженной на 1 + p/100, а после уменьшения — на 1 − p/100.
Если неизвестных две, попробуй выразить одну величину через другую. Например, «первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее» означает не x + 2, а x − 2, если x — время второго. Именно направление этой разницы часто определяет правильность всей модели.
Подчёркивай слова «всего», «на столько больше», «в несколько раз», «через» и «одновременно». Они подсказывают, какое действие или уравнение нужно составить.
Проценты, цена и последовательные изменения
В задачах на проценты главное — не перепутать процент с процентным пунктом. Если цена выросла на 20%, новая цена составляет 120% от старой. Если затем её снизили на 20%, получится не первоначальная цена: сначала умножаем на 1,2, затем на 0,8. Коэффициент общего изменения равен 1,2 × 0,8 = 0,96, то есть цена стала меньше исходной на 4%.
Удобная таблица помогает увидеть структуру условия:
| Ситуация | Коэффициент | Новая величина |
|---|---|---|
| Увеличение на p% | 1 + p/100 | Старая × коэффициент |
| Уменьшение на p% | 1 − p/100 | Старая × коэффициент |
| Найти исходную величину | обратный коэффициент | Новая ÷ коэффициент |
Если сказано, что после скидки 15% товар стоит 1700 рублей, нельзя просто прибавить 15% к 1700. Число 1700 — это 85% первоначальной цены. Значит, исходная цена находится делением на 0,85. После решения проверь: скидка действительно должна уменьшить исходную сумму.
Для дополнительной тренировки посмотри разборы в материале «ЕГЭ база: задания с графиками и таблицами»: умение читать данные пригодится и в текстовых задачах.
Движение и производительность
В задачах на движение составь маленькую таблицу: участник, скорость, время, расстояние. Для встречного движения скорости складываются, для движения в одном направлении — вычитаются, если нужно найти скорость сближения. Следи за моментом старта: если один объект выехал на 30 минут раньше, у него время в пути больше на 0,5 часа.
Разберём задачу полностью. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Через 2 часа расстояние между ними стало 20 км, а первоначальное расстояние равно 180 км. Найдём скорость велосипедиста.
Пусть скорость велосипедиста — x км/ч.
Скорость мотоциклиста — x + 30 км/ч.
За 2 часа они сблизились на 180 − 20 = 160 км.
\( 2x + 2(x + 30) = 160 \)
\( 4x + 60 = 160 \)
\( 4x = 100 \)
\( x = 25. \)
Скорость велосипедиста — 25 км/ч, мотоциклиста — 55 км/ч.
Проверка: 2 × 25 + 2 × 55 = 160 км.
В производительности действует похожая логика. Если один мастер выполняет работу за x часов, его производительность равна 1/x. При совместной работе производительности складываются, а не времена. С этой темой удобно связать материал «Задачи на движение: как решать».
Не складывай времена при совместной работе и не складывай скорости при движении в одну сторону. Сначала определи, что именно происходит с расстоянием или объёмом работы.
Типичные ошибки и проверка ответа
Первая ошибка — решение «по словам» без записи величин. Фраза «на 40% больше» означает умножение на 1,4, а не прибавление числа 40. Вторая ошибка — смешение единиц: 90 минут нужно заменить на 1,5 часа, если скорость дана в километрах в час. Третья — неправильный выбор неизвестного. Перед уравнением проговори, что обозначает x и в каких единицах оно измеряется.
Четвёртая ошибка — потеря ограничения. Время, длина и количество предметов не могут быть отрицательными. Если квадратное уравнение дало два корня, один из них может не подходить по смыслу. Например, время не бывает равным −3 часам, даже если алгебраически такое значение получилось.
Проверка должна быть содержательной. Подставь найденное значение в исходную связь, сравни единицы и ответь именно на вопрос. Если спрашивают, сколько процентов составляет изменение, не записывай только новую цену. В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на заданиях и сразу проверить, где именно возникла ошибка.
Что запомнить
Текстовая задача — это перевод обычного рассказа на язык величин и связей. Сначала определи тип задачи, затем приведи единицы к общему виду, выбери неизвестное и составь модель. Для движения используй расстояние = скорость × время, для работы — сумму производительностей, для процентов — коэффициенты изменения. После вычислений проверь не только арифметику, но и смысл ответа.
Если условие длинное, разбей его на короткие факты и не решай в уме. Таблица, схема или одна строка с обозначением x часто экономят больше времени, чем повторное чтение текста. Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так алгоритм закрепится не в теории, а в практике. Открыть бесплатную практику в личном кабинете можно в любой момент.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач разных типов: одну на проценты, одну на движение и одну на работу. Каждый раз сначала выписывай величины и формулу связи, а уже потом выполняй вычисления. После проверки отметь, на каком шаге появилась ошибка.
Как понять, какую величину обозначить за x?
Выбирай неизвестную, через которую проще выразить остальные данные. Обычно это искомая величина или базовое значение: первоначальная цена, скорость одного участника, время выполнения работы.
Что делать, если в задаче получились два ответа?
Проверь каждый корень по условию. Исключи отрицательные значения, нулевые значения там, где речь идёт о времени или расстоянии, и варианты, не соответствующие ограничениям задачи.
Нужно ли всегда составлять таблицу?
Не всегда, но таблица особенно полезна в задачах на движение, совместную работу и смеси. Она помогает не перепутать величины и увидеть, какую формулу нужно применить.
Проверь себя на реальных заданиях
После такого разбора решите 5–7 заданий подряд — и тема ваша. Тренажёр Просто Урок подберёт их автоматически, ошибки объяснит по шагам. Бесплатно, в браузере.