Задачи на оптимальный выбор

Как распознать задачу на оптимальный выбор

Иногда в задаче нужно не просто посчитать результат, а выбрать лучший вариант: самый дешёвый, быстрый, вместительный или выгодный. Здесь легко потеряться в условиях, но пошаговый алгоритм поможет сравнить варианты и уверенно оформить решение.

Задачи на оптимальный выбор встречаются в ОГЭ и ЕГЭ, а ещё в обычной жизни. Например, нужно выбрать тариф, упаковку тетрадей или маршрут до школы. В условии обычно есть несколько вариантов и критерий выбора: минимум затрат, максимум прибыли, наибольшая площадь или наименьшее время.

Сначала найди, что именно требуется оптимизировать. Слова «наименьший», «минимальный», «дешевле всего» означают поиск минимума. Слова «наибольший», «максимальный», «выгоднее всего» указывают на максимум.

Затем выпиши ограничения. Это условия вроде «количество не меньше 10», «скорость не превышает 60 км/ч», «бюджет не больше 3000 рублей». Только после этого сравнивай допустимые варианты.

Алгоритм решения: от условия к ответу

Удобно действовать по одному плану. Он подходит и для текстовых задач, и для заданий с таблицами или графиками.

1. Определи величину, которую нужно сделать минимальной или максимальной.

2. Введи переменную, если неизвестное количество нельзя сразу прочитать из условия.

3. Запиши формулу искомой величины. Следи за единицами: минуты не смешивай с часами, сантиметры — с метрами.

4. Определи допустимые значения. Например, число тетрадей не может быть отрицательным, поэтому n ≥ 0.

5. Составь список вариантов или исследуй функцию. Если вариантов мало, достаточно прямого сравнения. Если вариантов много, ищи вершину параболы, крайний случай или точку пересечения ограничений.

6. Проверь ответ в исходной ситуации и запиши его словами.

Закрепить этот порядок можно в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок»: после регистрации задания удобно решать по шагам.

Как сравнивать варианты с помощью таблицы

Если в условии несколько тарифов, упаковок или маршрутов, таблица снижает риск ошибки. В первой колонке запиши вариант, во второй — известные данные, в третьей — итоговую величину, которую сравниваешь.

Вариант	Количество	Цена	Цена за единицу
А	6 тетрадей	270 руб.	45 руб.
Б	10 тетрадей	420 руб.	42 руб.
В	15 тетрадей	675 руб.	45 руб.

Здесь упаковка Б выгоднее по цене одной тетради. Но это ещё не означает, что её всегда нужно выбрать. Если школьнику нужны только 6 тетрадей, большая упаковка может привести к лишней покупке. Значит, критерий нужно читать полностью: «минимальная цена одной тетради» и «минимальные общие расходы» — разные задачи.

Для сравнения тарифов полезна формула стоимости одной единицы:

цена за единицу = общая цена ÷ количество единиц
\( 45 = 270 \div 6 \)
\( 42 = 420 \div 10 \)
42 < 45 → вариант Б выгоднее по этому критерию

После расчёта проверь, не нарушает ли выбранный вариант ограничение по бюджету или количеству.

Разобранный пример с полным решением

Школьник выбирает один из двух способов добраться до кружка. Такси стоит 350 рублей. Автобус требует 2 поездки по 55 рублей и 20 минут пешком. Такси занимает 25 минут, автобус с ожиданием — 50 минут. Нужно выбрать способ, если важны и расходы, и время? В такой формулировке сначала ищем главный критерий: однозначного ответа нет, потому что варианты лучше по разным параметрам.

Если требуется минимальная стоимость, сравниваем деньги. Если минимальное время — сравниваем минуты.

стоимость автобуса = 2 × 55 = 110 руб.
110 < 350 → автобус дешевле
время такси = 25 мин.
время автобуса = 50 мин.
25 < 50 → такси быстрее
Ответ: автобус выбирают для экономии, такси — для экономии времени.

Полезно заметить: нельзя сложить 350 рублей и 25 минут. Это разные величины. Если автор задачи хочет единственный выбор, он обычно добавляет условие: «бюджет не более 200 рублей» или «нужно приехать не позднее чем через 30 минут».

Для экзамена ответ должен соответствовать именно заданному критерию, а не твоему личному представлению о выгоде.

Типичные ошибки и способы их избежать

Первая ошибка — выбрать самый маленький итог, когда требовался максимум. Перед вычислениями выпиши: min или max.

Вторая — сравнить общие цены вместо стоимости одной единицы. Упаковка за 600 рублей не обязательно хуже упаковки за 400 рублей: в ней может быть больше товара.

Третья — забыть про ограничения. Если получилась длина 2⅓ метра, это нормально, а отрицательное число мест в автобусе — нет. В задачах с целыми предметами результат нужно проверить на целочисленность.

Четвёртая — округлить слишком рано. Сначала считай точно, используй дроби или корень √, а округление выполняй только в конце, если этого требует условие.

Пятая — написать только число. В оптимизационной задаче важно указать, что именно выбрано: тариф Б, 12 коробок или маршрут через остановку.

Если сомневаешься, подставь ответ обратно в условие. Такая проверка занимает минуту, но замечает большинство арифметических промахов.

Что запомнить перед самостоятельной практикой

Задача на оптимальный выбор всегда состоит из трёх частей: варианты, критерий и ограничения. Сначала определи, что нужно минимизировать или максимизировать. Потом составь формулу, таблицу или список сравнений. В конце проверь допустимость результата и сформулируй ответ словами.

Если вариантов немного, сравнивай их напрямую. Если величина зависит от переменной, исследуй функцию и её область допустимых значений. Не смешивай разные единицы и не выбирай вариант только потому, что его общая цена кажется меньше.

Для уверенности реши несколько задач подряд с разными сюжетами: тарифы, покупки, маршруты, площадь и производительность. В бесплатном личном кабинете «Просто Урок» зарегистрируйся и реши 5 заданий по теме бесплатно. После каждого ответа сверяй не только число, но и критерий, по которому сделан выбор.