Задание 7 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что это за задание

В этом номере нужно найти значение выражения — целого, дробного, с корнем или логарифмом. Никаких сюжетов и текстов: только свойства и аккуратный счёт. Ответом служит целое число или конечная десятичная дробь.

Главная идея номера: любое «страшное» выражение сводится к нескольким свойствам. Если ты знаешь пять правил степеней, два правила корней и четыре правила логарифмов, то справишься с любым вариантом. Выражения специально составлены так, чтобы всё сократилось — ответ почти всегда «красивый».

Разберём три вида выражений по очереди. Каждое решается по одной и той же схеме: привести к свойству, применить его, посчитать.

Степени: свойства и примеры

Пять правил, которые решают всё:

\( aⁿ \cdot a^m = a^n+m; aⁿ / a^m = a^n-m \)

\( (aⁿ)^m = a^{n \cdot m}; a^-n = \dfrac{1}{a}ⁿ \)

Пример: найди значение выражения 5⁸ · 5⁴ / 5¹¹.

1. Основание везде одно — 5, значит работаем только с показателями.
2. В числителе перемножаем степени: 5⁸ · 5⁴ = 5¹².
3. Делим: 5¹² / 5¹¹ = 5¹²⁻¹¹ = 5¹.
4. Ответ: 5.

Отрицательный показатель — не повод для паники: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Степень с минусом — это просто дробь, перевёрнутая степень. А нулевая степень любого числа равна единице: 7⁰ = 1.

Подробно про правила и типичные ошибки мы писали в статье про степени с целым показателем — там же есть тренировочные задания.

Корни: считаем без калькулятора

Для корней достаточно двух свойств:

\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \sqrt{a} / \sqrt{b} \)

Пример: найди значение выражения √48 / √3.

1. Одинаковый знак корня над числителем и знаменателем — объединяем под один корень: √(48/3).
2. Считаем под корнем: 48 / 3 = 16.
3. Извлекаем: √16 = 4. Ответ: 4.

Второй частый сюжет — корень из произведения: √2 · √8 = √16 = 4. И ещё: чтобы извлечь корень из десятичной дроби, вспомни квадраты: 1,6² = 2,56, значит √2,56 = 1,6. Больше про это — в разборе квадратных корней и иррациональных выражений.

Логарифмы: определение и свойства

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число? Запись log₂ 8 читается «логарифм восьми по основанию два» и равен 3, потому что 2³ = 8.

\( \log _a b = c \Leftrightarrow a^c = b \)

Четыре свойства, которых хватает для задания 7:

\( \log _a b + \log _a c = \log _a (b \cdot c); \log _a b - \log _a c = \log _a (\dfrac{b}{c}) \)

\( a^{\log _a b} = b; \log _a b^k = k \cdot \log _a b \)

Пример: найди значение выражения log₂ 14 − log₂ 7.

1. Основания одинаковые — разность логарифмов превращаем в логарифм частного: log₂ (14/7).
2. Считаем под логарифмом: 14 / 7 = 2, получается log₂ 2.
3. Двойку нужно возвести в какую степень, чтобы получить два? В первую. Ответ: 1.

Ещё один типовой приём: степень с логарифмом. Выражение 5^{log₅ 7} по свойству равно просто 7 — логарифм и основание «взаимно уничтожаются». Подробнее — в статье про логарифмы простыми словами.

Типичные ошибки

• Объединял степени с разными основаниями: 2³ · 3² — это не 6⁵. Свойства работают только при одном основании.
• Путал произведение степеней со степенью степени: 5⁸ · 5⁴ даёт 5¹², а вот (5⁸)⁴ — уже 5³².
• Вычитал логарифмы под одним логарифмом: log₂ 14 − log₂ 7 — это log₂ (14/7), а не log₂ 7.
• Терял минус у показателя: a⁻ⁿ — дробь 1/aⁿ, а не отрицательное число.
• Раскрывал корень из суммы как сумму корней: √(a + b) ≠ √a + √b. Свойство работает только для произведения и частного.

Полезная привычка: перед записью ответа пробеги выражение глазами ещё раз и проверь каждый переход. Одна неверно применённая формула — и всё решение насмарку.

Вычисления — самый предсказуемый номер первой части: свойства не меняются от варианта к варианту. Рядом разобраны задание 6 и задание 8 базового ЕГЭ.

Если чувствуешь, что пропустил базу, начни с плана подготовки к ЕГЭ по математике с нуля — там темы идут в правильном порядке. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.