Комбинаторика: правила суммы и произведения: задачи с решениями

1. Зачем нужна комбинаторика

Когда в задаче встречаются варианты одежды, пароли, маршруты или рассадки, легко запутаться и посчитать один случай несколько раз. Комбинаторика помогает действовать не наугад, а по понятному плану: определить, складываются варианты или перемножаются. В этой статье ты разберёшь правила суммы и произведения, увидишь подробное решение и потренируешься замечать типичные ошибки.

Правило суммы применяют, когда выбирается один вариант из непересекающихся групп: например, чай или сок. Правило произведения используют, когда выбор состоит из нескольких последовательных шагов: сначала выбираем блюдо, затем напиток.

Пример: в меню 4 супа и 3 салата.
Выбрать одно блюдо можно 4 + 3 = 7 способами.
Если выбрать суп и салат, получим 4 · 3 = 12 наборов.

Главный вопрос перед вычислением: выполняются действия «или» либо «и»? Ошибка возникает, если сложить последовательные выборы или перемножить взаимоисключающие варианты. Для повторения базовых навыков полезно заглянуть в материал о подготовке к математике.

2. Правило суммы

Правило суммы звучит так: если объект можно выбрать одним из нескольких способов, причём способы не пересекаются, общее число вариантов равно сумме количеств. Группы должны быть именно непересекающимися: один предмет нельзя одновременно отнести к двум категориям.

Пример: в кружке 8 школьников занимаются шахматами, а 5 — робототехникой. Никто не посещает оба кружка.
Выбрать одного участника можно 8 + 5 = 13 способами.

Если пересечение всё-таки есть, простое сложение даст лишний счёт. Тогда используют вычитание повторно учтённых объектов: количество в первой группе + количество во второй группе − количество в пересечении.

Типичная ошибка — сложить варианты, хотя условие требует выбрать сразу два предмета. В таком случае выборы идут последовательно, и нужно переходить к правилу произведения. Дополнительные задания можно решать в бесплатной практике личного кабинета.

3. Правило произведения

Правило произведения применяют, когда действие выполняется по этапам. Если первый этап имеет a вариантов, а после каждого его результата второй этап — b вариантов, всего получается a · b способов. Правило работает и для трёх, четырёх и большего числа шагов.

Пример: есть 3 футболки, 2 пары брюк и 4 пары обуви.
Один образ можно составить 3 · 2 · 4 = 24 способами.

Удобно представить решение как дерево: от каждого выбора первого шага отходят варианты второго. Если количество вариантов на следующем этапе зависит от предыдущего выбора, нужно считать внимательнее или разделить задачу на случаи.

Типичная ошибка — забыть один этап или умножить на число предметов, которые уже использованы. Перед ответом перечисли шаги словами: «сначала…, затем…».

4. Разобранная задача

Решим задачу полностью. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?

Число строится в три этапа: выбираем цифру сотен, затем десятков, затем единиц. На первом месте доступны 5 цифр. После выбора сотен остаётся 4 цифры, а после выбора десятков — 3.

Решение:
5 · 4 · 3 = 60.
Ответ: 60 трёхзначных чисел.

Здесь нельзя применять правило суммы: мы выбираем не одну цифру, а последовательно заполняем три позиции. Если бы повторения разрешались, каждый раз оставалось бы 5 вариантов, и ответ был бы 5 · 5 · 5 = 125.

Типичная ошибка — считать цифру 0 на первом месте, хотя она не образует трёхзначное число. В этой задаче нуля нет, поэтому дополнительное ограничение не требуется.

5. Как решать задачи без ошибок

Начни с чтения условия и выпиши, что именно считается: отдельный предмет, пара, код, маршрут или полный набор. Затем определи, есть ли этапы выбора. Слова «и», «затем», «после этого» обычно ведут к умножению, а «или», «либо» — к сложению.

Пример: пароль состоит из буквы и цифры. Доступны 6 букв и 4 цифры.
Число паролей: 6 · 4 = 24.

Если пароль может начинаться с одной из двух буквенных групп, сначала сложи варианты внутри группы, а затем умножь результат на число цифр. Полезно записывать не только вычисление, но и короткое объяснение каждого множителя.

Проверяй ответ здравым смыслом: число комбинаций не должно быть меньше количества вариантов на любом обязательном этапе. При запрете повторений количество вариантов уменьшается, при разрешении — остаётся прежним.

Типичная ошибка — не заметить ограничение «цифры не повторяются» или «рядом не могут стоять одинаковые цвета». Перед тренировкой экзаменационных задач можно открыть разбор задания 16 ЕГЭ, а затем закрепить тему в личном кабинете с бесплатными упражнениями.

6. Что запомнить

Правило суммы: выбирается один вариант из непересекающихся групп, поэтому количества складываются. Правило произведения: выбор выполняется по этапам, поэтому количества перемножаются. Перед формулой всегда опиши ситуацию словами — это помогает не перепутать операции.

«или» → сложение.
«и», «затем» → умножение.
Нет повторений → число доступных вариантов уменьшается.

Например, 7 книг или 3 журнала дают 10 вариантов одного предмета, а выбор книги и журнала даёт 7 · 3 = 21 пару. В сложной задаче разделяй условие на случаи, решай каждый случай отдельно и складывай результаты.

Типичная ошибка — применять готовое правило без проверки ограничений. Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете, сверяя не только ответ, но и выбранное правило.