Задание 13 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 13 — первое задание второй части профильного ЕГЭ. В отличие от заданий первой части с кратким ответом, здесь нужен развёрнутый ответ: вся цепочка рассуждений записывается на бланке и проверяется экспертом. Стандартная формулировка состоит из двух пунктов: в пункте «а» требуется решить тригонометрическое уравнение, в пункте «б» — отобрать корни, попадающие в заданный отрезок или условие.

Внутри номера встречаются синус, косинус и тангенс, формулы двойного угла, разложение на множители и замена переменной. Сколько первичных баллов даёт задание и как оно сформулировано в этом году — сверяй с демоверсией ФИПИ: структура второй части время от времени уточняется. Если простейшие тригонометрические уравнения ещё «плавают», сначала подтяни базу: разбор тригонометрических уравнений и подборка базовых формул тригонометрии.

Шаг 1. Решаем уравнение

Разберём типовой пример. Пункт «а»: решите уравнение

\( 2sin^2x + \cos x - 1 = 0 \)

В уравнении две разные функции — синус и косинус. Приводим всё к косинусу через основное тождество sin²x = 1 − cos²x:

\( 2(1 - \cos ^2x) + \cos x - 1 = 0 \)

Раскрываем скобки и умножаем обе части на −1, чтобы старший коэффициент стал положительным:

\( 2cos^2x - \cos x - 1 = 0 \)

Делаем замену t = cos x и не забываем про ограничение |t| ≤ 1:

\( 2t^2 - t - 1 = 0 \)

1. Дискриминант: D = 1 + 8 = 9, значит t = (1 ± 3) / 4.
2. Корни: t = 1 и t = −1/2. Оба проходят по ограничению |t| ≤ 1 — это обязательная проверка.
3. Возвращаемся к x. cos x = 1 даёт серию x = 2πn, n ∈ ℤ.
4. cos x = −1/2 даёт серию x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.

Пункт «а» решён: две серии корней. Записывай их полностью, со словами «n ∈ ℤ» — без этого ответ считается неполным.

Шаг 2. Отбираем корни на отрезке

Пункт «б»: найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [π; 2π]. Отбираем корни по каждой серии отдельно.

1. Серия x = 2πn: перебираем n = 0, ±1, ±2. В отрезок попадает только x = 2π при n = 1.
2. Серия x = ±2π/3 + 2πn: при n = 0 корни 2π/3 и −2π/3 отрезку не принадлежат.
3. При n = 1: 2π/3 + 2π = 8π/3 — больше 2π, не подходит; −2π/3 + 2π = 4π/3 — попадает в отрезок.
4. Ответ пункта «б»: 4π/3 и 2π.

Показывай перебор значений n короткими пояснениями — эксперт должен увидеть логику отбора, а не угадывать её.

Два способа отбора корней

Первый способ — числовая окружность: отмечаешь на окружности отрезок [π; 2π] и точки обеих серий, смотришь, что попало. Наглядно, но легко ошибиться с направлением обхода и границами.

Второй способ — двойное неравенство: решаешь неравенство относительно n. Для серии −2π/3 + 2πn:

\( \pi \le -2\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2\pi \to \dfrac{5}{6} \le n \le \dfrac{4}{3} \to n = 1 \)

Целое n здесь только одно, значит корень −2π/3 + 2π = 4π/3. Оба способа дают одинаковый ответ — выбирай тот, который понимаешь лучше, и дальше держись его через весь экзамен.

Как оформить и за что снимают баллы

Задание второй части оценивается по критериям: за верно решённый пункт «а» и за верный отбор в пункте «б» ставятся отдельные баллы. Точную раскладку сверяй с актуальной демоверсией ФИПИ. Чаще всего баллы теряют вот так:

1. Потерян знак «±» в серии cos x = −1/2 — в ответе остаётся только одна ветвь.
2. Забыто ограничение |t| ≤ 1 при замене — появляется лишний «корень».
3. В пункте «б» записаны все корни уравнения вместо корней из отрезка.
4. Перебор значений n сделан «в уме» и никак не показан в решении.
5. В сериях пропущено «n ∈ ℤ» — ответ читается как конечный набор чисел.

Отбор корней — навык, который тренируется: пять-десять полных развёрнутых решений дают больше, чем двадцать прочитанных разборов. Дальше двигайся по номерам второй части: стереометрия в задании 14, неравенство в задании 15 и экономическая задача в задании 16. А если начинаешь подготовку почти с нуля, поможет план подготовки к ЕГЭ по математике за год. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.