Задание 13 ЕГЭ 2027: кредиты, вклады и финансовые задачи

Что проверяет задание 13

По спецификации задание 13 проверяет умение моделировать реальные ситуации на языке математики и решать текстовые задачи разных типов, в том числе из области управления личными и семейными финансами. Задание из части 1: ответ — число, 1 балл, ориентир по времени — около 10 минут. Раньше задачи про кредиты и вклады встречались в части 2 с развёрнутым оформлением; теперь нужен только верный числовой ответ, но решать по-прежнему нужно через модель, а не «на глаз».

Главная идея: множитель

Рост на p % — это умножение на множитель q = 1 + p/100. Увеличение на 20 % означает q = 1,2, на 8 % — q = 1,08. Снижение на 15 % — множитель 0,85. Все финансовые схемы строятся из двух действий: умножить на q (начислили проценты) и вычесть платёж.

Равные платежи: разбор задачи из демоверсии

В демонстрационном варианте условие такое: в июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 руб. на три года. Каждый январь долг увеличивается на 20 %, а с февраля по июнь выплачивается один платёж. Кредит погашается тремя равными платежами. Найти общую сумму выплат.

1. Обозначим платёж x, множитель q = 1,2, долг S = 182 000.
2. После первого года: 1,2S − x. После второго: 1,2(1,2S − x) − x = 1,44S − 1,2x − x. После третьего: 1,728S − 1,44x − 1,2x − x. Долг равен нулю.
3. Получаем 1,728S = x·(1 + 1,2 + 1,44) = 3,64x.
4. x = 1,728·182 000 : 3,64 = 86 400. Три платежа дают 3·86 400 = 259 200 руб.

Общая формула для n равных платежей: S·qⁿ = x·(qⁿ⁻¹ + … + q + 1). Сумма в скобках — геометрическая прогрессия, считать её удобнее подряд: 1 + 1,2 + 1,44 = 3,64.

Ещё пример: два года

Кредит 110 000 руб. на два года, 20 % годовых, платежи равные. Уравнение: 1,44·110 000 = x·(1 + 1,2) = 2,2x, откуда x = 158 400 : 2,2 = 72 000. Всего выплачено 144 000 руб., переплата 34 000 руб.

Дифференцированные платежи

Здесь долг уменьшается на одну и ту же часть каждый период. Платёж состоит из «тела» (S : n) и процентов на остаток долга. Пример: кредит 600 000 руб. на 3 года под 10 %.

Год	Долг до начисления	Проценты (10 %)	Платёж
1	600 000	60 000	200 000 + 60 000 = 260 000
2	400 000	40 000	200 000 + 40 000 = 240 000
3	200 000	20 000	200 000 + 20 000 = 220 000

Общая сумма выплат 720 000 руб., переплата 120 000 руб. Решение — это таблица: уравнение не нужно. Признак такого условия: «долг уменьшается равномерно» или «на одну и ту же величину».

Вклады: сложные проценты и пополнения

Вклад работает как кредит «наоборот»: сумма умножается на q каждый период. За n лет вклад S превращается в S·qⁿ. Пример: 100 000 руб. под 10 % на 3 года дают 100 000·1,331 = 133 100 руб. При простых процентах было бы 100 000 + 3·10 000 = 130 000 руб.

Если вклад пополняют, действуйте по порядку событий. Сначала начислили проценты, затем внесли пополнение: (100 000·1,1 + 50 000)·1,1 = 176 000 руб. Если пополнение внесли до начисления, проценты начислятся и на него. Порядок в условии определяет формулу.

Проценты и налоги в одной строке

Последовательные изменения перемножаются, а не складываются. Скидка 15 % и ещё 10 % — это 0,85·0,9 = 0,765, итоговая скидка 23,5 %, а не 25 %. Налог 13 % с зарплаты 50 000 руб. оставляет 50 000·0,87 = 43 500 руб.

Алгоритм и ловушки

1. Выпишите множитель q и число лет n.
2. Определите схему: равные платежи, дифференцированные, вклад с пополнением.
3. Составьте строку «долг по годам» или уравнение.
4. Проверьте ответ обратным ходом: долг должен обнулиться.

Ловушки: спутать общую сумму выплат с размером одного платежа; забыть, что проценты в январе, а платёж с февраля по июнь (то есть проценты начисляются до платежа); считать простые проценты там, где нужны сложные; округлить промежуточный результат.

Источник: проекты демонстрационного варианта, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике, подготовленные ФИПИ. Документы опубликованы как проекты, поэтому перед экзаменом сверяйтесь с окончательными версиями на сайте ФИПИ (fipi.ru).