ОГЭ задание 13: неравенства

ОГЭ задание 13: что нужно уметь

Неравенства в ОГЭ часто пугают несложными вычислениями, а потеря балла происходит из-за знака, скобок или неверного ответа на числовой прямой. Разберём понятный алгоритм: как раскрывать скобки, переносить слагаемые, учитывать смену знака и записывать ответ. Это пригодится и для повторения базовых чисел на координатном луче.

Неравенство сравнивает выражения: используются знаки >, <, ≥ или ≤. Решением называют все значения переменной, при которых сравнение верно. В ОГЭ обычно требуется решить линейное, квадратное или дробно-рациональное неравенство, а затем выбрать промежуток или записать ответ.

Пример:
3x − 7 ≥ 5
3x ≥ 12
x ≥ 4

При делении на положительное число знак сохраняется. Если делишь или умножаешь на отрицательное число, знак меняется на противоположный. Типичная ошибка — написать x ≤ 4 в последней строке, забыв, что 3 положительно и менять знак не нужно.

Линейные неравенства по шагам

Сначала раскрой скобки, если они есть, затем собери слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой. После этого раздели обе части на коэффициент при переменной. Важно заранее определить его знак: именно он подскажет, изменится ли знак неравенства.

Разберём пример полностью:
4(2x − 3) − 5 < 3x + 8
8x − 12 − 5 < 3x + 8
8x − 17 < 3x + 8
5x < 25
x < 5

Ответ можно записать промежутком (−∞; 5) или отметить на прямой все точки левее 5. Число 5 не входит в решение, потому что исходный знак строгий: <. Если бы стоял знак ≤, точка была бы закрашенной.

Квадратные неравенства

Для квадратного неравенства сначала перенеси всё в одну часть и приведи к виду ax² + bx + c сравнивается с нулём. Найди корни квадратного трёхчлена, отметь их на прямой и определи знаки на получившихся промежутках. Удобно помнить: при положительном старшем коэффициенте знак «плюс» находится снаружи корней, а «минус» — между ними.

Пример:
x² − 5x + 6 ≥ 0
(x − 2)(x − 3) ≥ 0
x ≤ 2 или x ≥ 3

В примере корни 2 и 3 входят в ответ, потому что используется ≥. Частая ошибка — взять промежуток между корнями без проверки знака. Подставь число 0: получится 6 ≥ 0, значит левый промежуток подходит.

Если дискриминант отрицательный, трёхчлен не пересекает ось, поэтому его знак определяется старшим коэффициентом.

Дробные неравенства и область допустимых значений

В дробном неравенстве знаменатель не может быть равен нулю. Сначала выпиши запрещённые значения, затем перенеси всё в одну часть, разложи числитель и знаменатель на множители и расставь критические точки на числовой прямой. Знак выражения меняется при переходе через корень нечётной кратности.

Пример:
(x − 2) ÷ (x + 1) > 0
Критические точки: −1 и 2
Ответ: x < −1 или x > 2

Точка −1 всегда исключается: знаменатель обращается в ноль. Точка 2 тоже не входит, потому что знак строгий >. Проверить результат можно знаками на промежутках: слева от −1 дробь положительна, между −1 и 2 отрицательна, справа от 2 положительна.

Не путай знак дроби со знаками числителя и знаменателя по отдельности: отрицательное, делённое на отрицательное, даёт положительное.

Как оформить ответ и избежать ошибок

В задании ОГЭ важно не только решить пример, но и выбрать правильную запись. Сначала сравни ответ с вариантами, затем проверь границы и направление промежутка. Для объединения решений используй слово «или», а для общей части — «и».

Пример системы:
x > 1 и x ≤ 4
Общая часть: 1 < x ≤ 4
Ответ: (1; 4]

Точка 1 пустая, потому что требуется строго больше; точка 4 закрашенная, потому что разрешено равенство. Если работаешь с системой, пересекай промежутки. Для совокупности неравенств, наоборот, объединяй подходящие части.

Полезно сделать короткую проверку: выбрать число из своего ответа и число вне ответа. Если оба теста дают ожидаемый результат, решение, вероятно, записано верно. Типичная ошибка — перепутать объединение и пересечение, особенно когда в условии встречаются «или» и «и».

Если хочется потренироваться на похожих шагах, открой бесплатную практику в личном кабинете: решай небольшими сериями и сразу анализируй ошибки.

Что запомнить

Линейное неравенство решай последовательно: раскрой скобки, собери подобные, перенеси слагаемые и раздели на коэффициент. При делении на отрицательное число знак меняется. В квадратном неравенстве найди корни и расставь знаки на промежутках. В дробном обязательно исключи нули знаменателя.

Мини-алгоритм:
1. Привести выражение к удобному виду
2. Найти критические точки
3. Определить знаки промежутков
4. Проверить границы и записать ответ

Проверяй решение подстановкой: это занимает немного времени и помогает заметить арифметическую ошибку. Отдельно следи за строгими знаками и скобками в промежутках.

Если тема пока кажется неустойчивой, полезно повторить работу с параметрами в материале «Не понимаю параметр». Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, а затем разберись, где именно появилась ошибка.