ЕГЭ задание 16: экономическая задача: разбор с решением

Что проверяет задание 16

Экономическая задача в ЕГЭ часто пугает несложными вычислениями, а длинным условием: проценты, цена, объём продаж, вклад или кредит смешиваются в один текст. Твоя цель — не угадать формулу, а перевести ситуацию на язык переменных и составить одно понятное уравнение. В этом разборе ты увидишь универсальный алгоритм, полностью решённый пример и типичные ловушки, из-за которых теряют баллы.

Сначала выпиши величины, которые меняются. Если цена товара увеличивается на x рублей, новая цена равна старой цене плюс x. Если после этого продают на 10x единиц меньше, новый объём равен исходному объёму минус 10x. Выручка — это произведение цены на количество товара.

Выручка = цена · количество
Новая цена = старая цена + изменение
Новый объём = старый объём − уменьшение

Например, при цене 300 рублей и продаже 80 товаров исходная выручка равна 24 000 рублей. Если цена выросла на 20 рублей, а продажи сократились на 5 единиц, новая выручка: 320 · 75 = 24 000 рублей.

Типичная ошибка — складывать цену и количество или считать процентное изменение обычной разностью. Всегда проверяй единицы измерения: рубли умножаются на штуки, а не складываются.

Алгоритм решения по шагам

Разберём порядок действий, который удобно применять почти к любой экономической задаче. Шаг первый: обозначь неизвестное одной буквой, обычно x. Шаг второй: вырази через x все изменившиеся показатели. Шаг третий: составь условие с помощью выручки, прибыли, стоимости вклада или платежа. Шаг четвёртый: реши уравнение и выбери подходящий корень.

Предположим, магазин продавал 100 билетов по 400 рублей. После повышения цены на x рублей число покупателей уменьшилось на 2x. Тогда новая выручка записывается так:

Цена: 400 + x
Количество: 100 − 2x
Выручка: (400 + x) · (100 − 2x)

Если в условии сказано, что выручка стала равна 39 600 рублям, приравни выражение к этой сумме и реши квадратное уравнение. Затем проверь ограничения: цена должна быть положительной, а количество покупателей — неотрицательным.

Типичная ошибка — сразу раскрывать скобки, не записав модель. Если знак перед 2x выбран неверно, вся дальнейшая арифметика будет аккуратной, но ответ окажется неправильным.

Полный разбор задачи с решением

Задача: магазин продавал товар по цене 500 рублей, реализуя 120 единиц в день. После повышения цены на 50 рублей ежедневный объём продаж уменьшался на 10 единиц. На сколько нужно повысить цену, чтобы дневная выручка стала равна 60 000 рублей, если цена действительно повышалась?

Введём x — число повышений на 50 рублей. Тогда изменение цены составит 50x рублей, а уменьшение продаж — 10x единиц. Выручка после изменения должна совпасть с указанной в условии.

Цена: 500 + 50x
Количество: 120 − 10x
(500 + 50x) · (120 − 10x) = 60 000
60 000 + 1 000x − 500x² = 60 000
500x² − 1 000x = 0
500x(x − 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2

Корень x = 0 означает отсутствие повышения, но условие требует, чтобы цена увеличивалась. Поэтому берём x = 2. Повышение цены равно 50 · 2 = 100 рублей, новая цена — 600 рублей, объём продаж — 100 единиц. Проверка: 600 · 100 = 60 000 рублей.

Типичная ошибка — сразу отбросить нулевой корень без объяснения. Его нужно назвать неподходящим по смыслу, а затем записать ответ с единицами.

Проценты, вклады и кредиты

В задачах про банк главное — понять, к какой сумме применяется процент. При начислении процентов на вклад за один год новая сумма равна первоначальной сумме, умноженной на 1 плюс ставку в десятичной записи. При уменьшении долга на 8% остаётся 92% суммы, то есть множитель 0,92.

Например, вклад 50 000 рублей размещён на два года: в первый год начисляется 10%, во второй — 8%. Проценты ежегодно прибавляются к вкладу, поэтому второй процент считается уже от увеличенной суммы.

50 000 · 1,1 = 55 000
55 000 · 1,08 = 59 400

Итоговая сумма — 59 400 рублей. Можно записать решение одной строкой: 50 000 · 1,1 · 1,08. Если ставка дана в процентах, сначала переведи её в множитель: 12% → 1,12, 7% → 1,07.

Полезно потренироваться на похожих моделях в личном кабинете с бесплатной практикой: там удобно сразу проверять вычисления и возвращаться к ошибочным шагам.

Типичная ошибка — складывать 10% и 8%, получая 18%. Такой подход неверен, если проценты начисляются последовательно на изменяющуюся сумму.

Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — неверно понять процент. Увеличить цену на 15% означает умножить её на 1,15, а увеличить на 15 рублей — прибавить 15. Вторая ошибка — потерять скобки: если меняются и цена, и количество, выручка является произведением двух выражений. Третья ошибка — оставить оба корня квадратного уравнения, хотя один может давать отрицательное количество товара.

Рассмотрим короткий пример. Цена билета 200 рублей, после скидки 10% продают 55 билетов вместо 40. Новая выручка вычисляется так:

Новая цена = 200 · 0,9 = 180
Новая выручка = 180 · 55 = 9 900
Старая выручка = 200 · 40 = 8 000

Выручка увеличилась на 1 900 рублей, хотя цена снизилась: рост количества оказался сильнее снижения цены. Такой вывод лучше делать только после расчёта, а не по внешнему впечатлению.

Для повторения процентных моделей посмотри материал «НОД и НОК: как находить», если в вычислениях встречаются делимость и общий шаг. Типичная ошибка — округлить промежуточный результат слишком рано.

Что запомнить перед экзаменом

Экономическая задача решается не подбором случайной формулы, а переводом текста в модель. Найди исходные данные, обозначь изменение через x, вырази новые показатели и составь равенство. В задачах о продажах используй цену · количество, во вкладах — последовательное умножение на коэффициенты, а в кредитах внимательно следи, от какой суммы считается процент.

Мини-пример для самопроверки: товар стоил 800 рублей, затем его цену снизили на 25%. Новая цена равна 600 рублям, потому что 800 · 0,75 = 600. Ошибка — вычесть 25 рублей вместо 25% или умножить на 0,25, получив величину скидки, а не остаток цены.

Перед сдачей проверь три вещи: подходит ли корень по смыслу, совпадают ли единицы измерения и выполняется ли условие при обратной подстановке. Если хочешь закрепить тему, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Дополнительный геометрический навык для других номеров можно повторить в статье «Смежные и вертикальные углы».

Типичная ошибка — закончить на найденном x и не перевести его в ответ задачи. Напиши итог словами: «цену нужно повысить на…» или «сумма вклада составит…».